Formelsammlung Arithmetik

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Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Buchstaben am Anfang des Alphabets stehen für beliebige Zahlen.
  • Buchstaben in der Mitte des Alphabets stehen für natürliche Zahlen.
  • Buchstaben am Ende des Alphabets stehen für Variablen.
  • Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
  • Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

Grundrechenarten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenoperationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Addition

  (Summand + Summand = Summe)

Subtraktion

  (Minuend − Subtrahend = Differenz)

Multiplikation

  (Faktor · Faktor = Produkt)

Division

  (Dividend : Divisor = Quotient)
Die Division durch null ist dabei nicht definiert.

Klammerregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechengesetze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Assoziativgesetze

Kommutativgesetze

Distributivgesetze

Neutralität von und

Binomische Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bruchrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

  (Zähler : Nenner)
Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.

Spezialfälle

  • Stammbruch:
  • Echter Bruch:
  • Unechter Bruch:
  • Scheinbruch: mit einer ganzen Zahl
  • Kehrbruch: und werden vertauscht

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorzeichen

Erweitern und Kürzen

  für

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Prozentrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen

  (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
  (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)

Prozentsätze häufig benutzter Anteile

Anteil am Grundwert
Prozentsatz 1 %     2 %     2,5 % 4 %      5 %       6,25 %   ≈6,67 %   ≈8,33 % ≈9,09 %     10 %   
Anteil am Grundwert
Prozentsatz ≈11,11 % 12,5 % ≈14,29 % ≈16,67 % 20 % 25 % ≈33,33 % 50 % ≈66,67 % 75 %

Elementare Rechenoperationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Potenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen

Natürlicher Exponent:

  (Potenz = Basis hoch Exponent)

Negativer Exponent:

Rationaler Exponent:

Hierbei ist eine nichtnegative rationale Zahl und sind natürliche Zahlen.

Spezialfälle

  für , siehe Null hoch null
  für

Potenzgesetze

Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.

Wurzel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

  (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
Hierbei ist eine nichtnegative reelle Zahl und eine natürliche Zahl größer als eins

Spezialfälle

  (Quadratwurzel)
  (Kubikwurzel)

Wurzelgesetze

Logarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

  (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
Hierbei sind positive reelle Zahlen.

Spezialfälle

  (binärer Logarithmus)
  (natürlicher Logarithmus)
  (dekadischer Logarithmus)

Logarithmengesetze

Elementare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Eigenschaften

  (Dreiecksungleichung)

Vorzeichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition

Eigenschaften

  für

Ab- und Aufrundung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen

  (Abrundung)
  (Aufrundung)

Eigenschaften

Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Äquivalenzumformungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösen von Gleichungen

  für
  für
  für jede bijektive Funktion

Lineare Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Form

Lösungen

  falls
keine Lösung falls
unendlich viele Lösungen falls

Quadratische Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Form

  mit

Diskriminante

Lösungen

  falls
  falls
keine reelle Lösung falls

Quadratische Ergänzung

p-q-Form

Diskriminante

Lösungen

  falls
  falls
keine reelle Lösung falls

Satz von Vieta

Algebraische Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Form

Lösungen

als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)

Zerlegung in Linearfaktoren

Polynomdivision

  wobei
  wobei

Ungleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Äquivalenzumformungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösen von Ungleichungen

Die Umformungsregeln gelten analog auch für .

Spezielle Ungleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dreiecksungleichung

  für alle

Bernoullische Ungleichung

  für und

Youngsche Ungleichung

  für und mit

Ungleichungen bei Mittelwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

  für und

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel

  für und

Komplexe Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Algebraische Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung

  mit Realteil , Imaginärteil und der imaginären Einheit
  (Komplexe Konjugation)

Potenzen der imaginären Einheit

Allgemein für :

Arithmetische Operationen

  für

Polarform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung

  mit dem Betrag und dem Argument

Betrag

Argument

oder

Exponentialform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung

  mit der eulerschen Zahl
  (Eulersche Formel)

Umrechnungsformeln

Arithmetische Operationen

Potenzen

Wurzeln

  für   (Einheitswurzeln)
  für

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  (Teleskopsumme)

Arithmetische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  (Gaußsche Summenformel)

Geometrische Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:

Potenzsummen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.

Kombinatorische Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Binomischer Lehrsatz

Multinomialtheorem

Ungleichungen bei Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

  für alle und

Tschebyscheff-Ungleichungen

  für alle und
  für alle und

Minkowski-Ungleichung

  für alle und sowie

Hölder-Ungleichung

  für alle und sowie mit

Jensensche Ungleichung

  für jede konvexe Funktion , mit und alle

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]