Scheitelpunkt

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Scheitelpunkte kommen in verschiedenen Bedeutungen in der deutschen Sprache vor, hauptsächlich in der Geometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Scheitelpunkt eines Winkels
2 Scheitelpunkt eines Kegelschnitts
3 Scheitelpunkt einer Parabel
- 3.1 Scheitelpunktform
  - 3.1.1 Herleitung mittels quadratischer Ergänzung
  - 3.1.2 Herleitung mittels Ableitung
- 3.2 Beispiele
4 Sonstiges
5 Links

[Bearbeiten] Scheitelpunkt eines Winkels

Unter dem Scheitelpunkt (Scheitel) eines Winkels versteht man den gemeinsamen Anfangspunkt der beiden Schenkel (also der begrenzenden Halbgeraden oder Strahlen) dieses Winkels.

[Bearbeiten] Scheitelpunkt eines Kegelschnitts

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts sind die Schnittpunkte einer solchen Kurve mit deren Symmetrieachsen.

Siehe hierzu: Ellipse, Parabel, Hyperbel (Der Kreis hat keinen expliziten Scheitelpunkt).

Hauptscheitel und Nebenscheitel sind nur bei der Ellipse definiert.

[Bearbeiten] Scheitelpunkt einer Parabel

Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Analysis ist identisch mit dem Hochpunkt (Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (Minimum), wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist (siehe unten), kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.

[Bearbeiten] Scheitelpunktform

Eine Parabel entspricht einer quadratischen Funktion, also einem Polynom zweiten Grades und kann daher in der Form $f(x)\, = a_2x^2 + a_1x + a_0\text{ mit }a_2 \neq 0$ ausgedrückt werden.

Unter der Scheitelform oder Scheitepunktform einer quadratischen Funktion versteht man eine bestimmte Form dieser Gleichung, aus welcher man den Scheitelpunkt der Funktion direkt ablesen kann.

Sie lautet $f(x) = a \cdot (x - s)^2 + t$ mit dem Scheitelpunkt $S (s | t)$ .

Folglich kann die Funktion $f(x)\, = a_2x^2 + a_1x + a_0\text{ mit }a_2 \neq 0$ in die Form $f(x)\, = a_2\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)^2 + \frac{4a_2a_0-a_1^2}{4a_2}$ überführt werden. Der Scheitelpunkt lautet dann $S\,\left(-\frac{a_1}{2a_2} \ \Bigg| \ \frac{4a_2a_0-a_1^2}{4a_2} \right)$ .

In der Schule wird diese Formel aufgrund ihrer Größe meistens nicht gelehrt. Stattdessen wird die quadratische Ergänzung gelehrt, mit deren Hilfe man eine quadratische Funktion in der Polynomform in die Scheitelform überführt.

[Bearbeiten] Herleitung mittels quadratischer Ergänzung

Die obige Formel kann mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden. Die Normalform wird in die Scheitelpunktform umgeformt.

$\begin{align} f(x) &=a_2x^2+a_1x+a_0\\ &=a_2\left(x^2+\frac{a_1}{a_2}x\right)+a_0\\ &=a_2\left(\underbrace{x^2+\frac{a_1}{a_2}x + \left(\frac{a_1}{2a_2}\right)^2} - \left(\frac{a_1}{2a_2}\right)^2\right)+a_0\\ &=a_2\left(\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)^2 - \left(\frac{a_1}{2a_2}\right)^2\right)+a_0\\ &=a_2\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)^2 - a_2\frac{a_1^2}{4a_2^2}+a_0\\ &=a_2\left(x+\frac{a_1}{2a_2}\right)^2 + \frac{4a_2a_0 -a_1^2}{4a_2} \end{align}$

Daraus können die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden: $x=-\frac{a_1}{2a_2},\quad y = \frac{4a_2a_0 -a_1^2}{4a_2}$ .

[Bearbeiten] Herleitung mittels Ableitung

Da die Steigung im Scheitelpunkt gleich 0 ist, ist es möglich mit Hilfe der ersten Ableitung die obige Formel herzuleiten.

$\begin{align} f(x) &= a_2x^2 + a_1x + a_0\\ f'(x) &= 2a_2x + a_1\\ 0 &= 2a_2x + a_1 \Rightarrow x = -\frac{a_1}{2a_2} \end{align}$

Einsetzen in die Normalform:

$\begin{align} f(x) &= a_2x^2 + a_1x + a_0\\ &= a_2\left( -\frac{a_1}{2a_2} \right)^2 + a_1\left( -\frac{a_1}{2a_2} \right) + a_0\\ &= \frac{a_1^2}{4a_2} -\frac{2a_1^2}{4a_2} + \frac{4a_2a_0}{4a_2}\\ &= \frac{4a_2a_0-a_1^2}{4a_2} \end{align}$