Starrer Körper

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Ein starrer Körper ist ein physikalisches Modell eines nicht verformbaren Körpers. Hierfür erfolgt eine Idealisierung durch die Annahme, dass zwei beliebige Punkte des Körpers unabhängig von äußeren Kräften immer den gleichen Abstand zueinander besitzen. In der klassischen Mechanik wird dabei eine kontinuierliche Massenverteilung und in der Quantenmechanik ein System von diskreten Massenpunkten (z. B. Atome, Moleküle) zugrunde gelegt.

Die Mechanik starrer Körper befasst sich mit der Bewegung starrer Körper unter dem Einfluss äußerer Kräfte. Durch die Modellvoraussetzungen treten dabei ausschließlich Bewegungen des gesamten Körpers in eine Richtung (Translationsbewegungen) und Rotationsbewegungen auf. Zusätzliche Bewegungsformen, wie Schwingungen einzelner Massenpunkte oder Verformungen des Körpers, werden durch die allgemeinere Mechanik fester Körper behandelt.

Ein starrer Körper ohne Translationsbewegung wird als Kreisel bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Allgemeine Bewegungen starrer Körper

Die Massenpunkte eines starren Körpers haben bezüglich eines körperfesten Bezugssystems (Schwerpunktsystem) (zeitlich) konstante Raumkoordinaten. Aus einer ruhenden Betrachtung (Laborsystem) heraus setzt sich eine freie Bewegung (ohne Einwirkung äußerer Kräfte) als Folgerung des Schwerpunktsatzes aus zwei unabhängigen Bewegungsformen zusammen:

Jede solche Bewegung ist äquivalent zu einer Schraubenbewegung. Dies bedeutet, dass sich zu einer gegebenen Bewegung eines starren Körpers zu jedem Zeitpunkt eine Schraubenlinie angeben lässt, die die ursprüngliche Raumposition und Orientierung in die aktuelle überführt (Theorem von Chasles: Michel Chasles, 1832). Eine Allgemeine Bewegung starrer Körper (mit äußeren Kräften) kann somit durch eine Folge von Schraubenbewegungen (sog. Schrotung) beliebig genau angenähert werden.

Aus gruppentheoretischer Sicht lassen sich die Translations- und die Rotationsabbildung jeweils durch die Translationsgruppe T(3) und die Drehgruppe SO(3) erzeugen. Die Komposition beider Abbildungen führt zu der speziellen euklidischen Gruppe SE(3), welche eine Lie-Gruppe ist. Dies ist wichtig, um zu erkennen, dass die Abbildung differenzierbar ist.

[Bearbeiten] Freiheitsgrade und Konfigurationsraum

Eulersche Winkel zur Beschreibung der Orientierung eines flugzeugfesten Koordinatensystems

Die Freiheitsgrade eines n-Teilchen-Systems bilden einen sogenannten Konfigurationsraum. Dieser setzt sich bei starren Körpern aus drei Freiheitsgraden bezüglich der Position und drei weiteren bezüglich der Orientierung zusammen. Neben verschiedenen ortsfesten Koordinatensystemen, die eine Beschreibung der Position erlauben, bieten die Eulerschen Winkel eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung, die besonders in der Luft- und Raumfahrt eine wichtige Rolle einnimmt.

Zur Anschauung kann ein freier Körper wie ein (kunstflugtaugliches) Flugzeug herangezogen werden, welches drei Freiheitsgrade einer geradlinigen Bewegung besitzt, da es sich frei in drei Raumdimensionen bewegen kann. Hinzu kommen drei weitere Freiheitsgrade der Drehungen um räumliche (unabhängige) Drehachsen.

Offensichtlich vermindert nun jede Einschränkung der Bewegungmöglichkeit die Anzahl der Freiheitsgrade. Wird beispielsweise ein Massenpunkt des starren Körpers räumlich fixiert, so kann man in diesen den Ursprung des Bezugssystems legen. Dadurch reduziert sich die Bewegung auf eine reine Änderung der Orientierung und es bleiben nur mehr drei Freiheitsgrade. Wird ein weiterer Punkt festgehalten, so kann der Körper nur noch um eine raumfeste Drehachse rotieren und hat damit nur noch einen Freiheitsgrad, nämlich den Drehwinkel. Legt man schließlich noch einen dritten Punkt des Körpers fest, so verliert er auch den letzten Freiheitsgrad und ist damit bewegungslos. Jede weitere räumliche Fixierung von Punkten führt nunmehr zu einer sogenannten statischen Überbestimmtheit, die in der Statik eine wichtige Rolle spielt.

[Bearbeiten] Formulierung der Allgemeinen Bewegungsgleichung

Wählen wir nun den Ursprung des raumfesten Koordinatensystems so, dass er zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Schwerpunkt des Körpers übereinstimmt, so kann die Position eines beliebigen Teilchens mit der von der der Winkelgeschwindigkeit abhängigen Drehmatrix in folgender allgemeinen Bewegungsgleichung beschrieben werden:

\vec{r}_T(t) = \vec{r}_S(t) + A(t)\cdot\vec{r}_0

Die Ableitung nach der Zeit ergibt:

\vec{v}_T(t) = \vec{v}_S(t) + \vec{\omega}(t) \times A(t)\cdot\vec{r}_0

dabei bezeichnen:

  • rT(t), vT(t) die vektorielle Position und Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt t, wobei r0 = rT(0)
  • rS(t), vS(t) die vektorielle Position und Geschwindigkeit des Schwerpunktes zum Zeitpunkt t
  • A(t) die Drehmatrix in Abhängigkeit von der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit ω(t) zum Zeitpunkt t

Da die äußeren Kräfte im allgemeinen jedoch nicht als konstant anzusehen sind und wiederum selbst von Position und Geschwindigkeit im Kraftfeld abhängen können (Reibung), stellt die Bestimmung der Bewegungsgleichung oftmals ein schwieriges Problem dar.

[Bearbeiten] Ansätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung

Nach der Modellvoraussetzung gelten konstante Distanzen zwischen den Teilchen. Aus dem Schwerpunktsatz lassen sich nun einige Folgerungen ziehen:

  • Für die Wirkung eines Systems äußerer Kräfte auf einen starren Körper sind nur die resultierende Kraft F und das resultierende Drehmoment M entscheidend. Alle Kräftesysteme mit gleichen Resultierenden sind somit in ihrer Wirkung äquivalent.
  • Der Trägheitstensor I eines starren Körpers ist bezüglich eines Schwerpunktsystems konstant.

Häufig werden dem Modell zudem weitere Idealisierungen zugrunde gelegt, die es erlauben sogenannte Erhaltungssätze zur Bestimmung der Bewegungsgleichung einzuführen:

Wird ein abgeschlossenes System angenommen, so folgt aus dem Drehimpulserhaltungssatz, dass der vektorielle Gesamtdrehimpuls L des Systems konstant ist, und es gilt:

\vec{L} = I \times \vec{\omega}(t) = \vec\mathrm{const.}\mathfrak{}

dabei bezeichnen:

  • I den Trägheitstensor des starren Körpers
  • ω(t) die vektorielle Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t

Wird ein konservatives Kraftfeld zugrunde gelegt, so folgt aus dem Energieerhaltungssatz, dass die Gesamtenergie E konstant ist, und es gilt:

E = E_{\mathrm{Kin}}(t) + E_{\mathrm{Pot}}(t) + E_{\mathrm{Rot}}(t) = \mathrm{const.}\mathfrak{}

dabei bezeichnen:

[Bearbeiten] Drehung eines starren Körpers um eine raumfeste Achse

Rotation eines Zylinders um zwei Achsen und Addition der Winkelgeschwindigkeit.

Wird die Drehachse festgelegt, so bleibt der Drehwinkel als einziger Freiheitsgrad der Rotation. Die Rotation wird durch die Rotationsgeschwindigkeit ω beschrieben. Diese Größe lässt sich als Vektor schreiben und mit Ort \vec{x} und Bahngeschwindigkeit \vec{v} eines Punktes verknüpfen

\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{x}

Diese Gleichung gilt genau dann, wenn als Richtung des Vektors \vec{\omega} die Rotationsachse gewählt wird. In Richtung des Vektors gesehen findet dabei die Rotation im Uhrzeigersinn statt.

Wenn ein Körper um zwei Achsen rotiert, lassen sich für beide Achsen Vektoren zur Winkelgeschwindigkeit definieren. Ihre Summe ergibt dann die Gesamtrotation des Körpers. Es findet also insgesamt nur eine Rotation um eine Achse statt. Damit ist gewährleistet, dass die Winkelgeschwindigkeit als Vektor additiv ist und es daher sinnvoll ist, diese Größe als Vektor darzustellen.

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Starrer_K%C3%B6rper“
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