Stellenwertsystem

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Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) große Zahlen darstellt. In diesem Zusammenhang wird auch oft von der b-adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen) gesprochen, wobei die Variable b für die Anzahl der Symbole steht. Der Wert von b wird auch als Basis oder Grundzahl bezeichnet.

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Grundzahl 10) oder das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Grundzahl 2), das Oktalsystem (mit der Grundzahl 8), das Hexadezimalsystem (mit der Grundzahl 16) sowie das Sexagesimalsystem (mit der Grundzahl 60). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Es gibt zwei unterschiedliche Arten, die Zifferndarstellung einer Zahl zu betrachten:

  • einerseits als Folge von Symbolen, also aufgefasst als Wörter einer formalen Sprache,
  • andererseits als Folge von Zahlen, die diesen Symbolen entsprechen.

Durch die Zuordnung zwischen Symbolen und Zahlen stehen die beiden Sichtweisen in enger Beziehung. Für mathematische Anwendungen wie zum Beispiel bei Teilbarkeitsregeln wird meist die zweite Möglichkeit gewählt.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Ziffern

Die b-adische Darstellung einer Zahl verwendet b verschiedene Ziffern, mindestens jedoch zwei. Jeder der b Ziffern wird eindeutig (injektiv) eine der Zahlen von 0 bis b − 1 zugeordnet. Zur Unterscheidung sind im Folgenden Ziffersymbole stets fett und ihre zugehörigen Zahlenwerte normal gedruckt.

Beispiele:

  • Im Dualsystem mit b = 2 werden gewöhnlich die Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen die Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
  • Im Dezimalsystem ist b = 10 und es werden gewöhnlich die 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und diesen (in dieser Reihenfolge) die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zugeordnet.

Für b < 10 werden gewöhnlich die ersten b Ziffern wie im Dezimalsystem verwendet.

Für b > 10 kommen gewöhnlich zusätzlich zu den Ziffern des Dezimalsystems Buchstaben als Ziffern zum Einsatz. Beispielsweise werden im Hexadezimalsystem mit b = 16 zusätzlich die Ziffern A, B, C, D, E und F verwendet und diesen (wieder in dieser Reihenfolge) die Zahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 zugeordnet.

[Bearbeiten] Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der b-adischen Darstellung durch eine (endliche) Folge

a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n

von Ziffern ai dargestellt. Dabei wird die Folge aber nicht wie eben gezeigt von links nach rechts und durch Komma getrennt, sondern von rechts nach links und ohne Komma dargestellt, also:

a_n \ldots a_2 a_1 a_0

Der Folge wird nun die Zahl

\sum_{i=0} ^{n} a_i \cdot b^i = a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 + ... + a_n \cdot b^n

zugeordnet.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl x eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert x ist. Im allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu beliebig oft die Ziffer 0 =0 anzuhängen (das heißt in der üblichen Schreibweise voranstellen). Werden Folgen verboten, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl x existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert x ist. Entgegen diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die endliche Folge ohne ein einziges Folgenglied) zugeordnet, sondern die Folge, die aus genau einem Folgenglied besteht, nämlich der Ziffer, der der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl überhaupt darstellen zu können.

Als Beispiel betrachten wir die Ziffernfolge 4C3 im Hexadezimalsystem (b = 16):

a0 ist hier 3, a1 ist hier C und a2 ist 4. Ferner ist 3 = 3, C = 12 und 4 = 4. Also repräsentiert die Folge 4C3 die Zahl

a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 = 3 + 12 \cdot 16 + 4 \cdot 16^2 = 3 + 192 + 1024 = 1219.

Entsprechend repräsentiert die Folge 1010011 im Dualsystem (b = 2) die Zahl

1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^6 = 1 + 2 + 16 + 64 = 83.

Im Dezimalsystem (b = 10) steht 3072 für:

2 \cdot 10^0 + 7 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^3 = 3072.

[Bearbeiten] Darstellung ganzer Zahlen

Ganze Zahlen werden wie natürliche Zahlen durch endliche Ziffernfolgen dargestellt, mit dem Unterschied, dass negativen Zahlen ein Minuszeichen („-“) als Symbol vorangestellt wird. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben. In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen („+“) vorangestellt.

[Bearbeiten] Darstellung rationaler Zahlen

Auch rationale Zahlen lassen sich b-adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem wird hierbei mit einem Trennzeichen der ganzzahlige vom gebrochenen Teil abgetrennt. Im deutschsprachigen Raum ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit b-i multipliziert, wobei i die Position hinter dem Komma angibt.

Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

1\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} = 1 + 0/2 + 1/4 + 1/8 = 1+3/8.

Es kann dabei vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche, aber periodische Folge von Nachkommastellen benötigt wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch eine über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so eine endliche Darstellung möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Symbolfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

0{,}00110011\ldots = 0{,}\overline{0011},

Dagegen bezeichnet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (triadischen) System die rationale Zahl 1·3-1 = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333... entspricht.

Allgemein gilt, dass ein gekürzter Bruch genau dann eine nicht periodische b-adische Darstellung hat, wenn alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von b sind. (Für eine nicht periodische Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt von Zweien und Fünfen sein.)

Wichtig ist es an dieser Stelle, zu erkennen, dass die Zifferndarstellung mancher rationaler Zahlen nicht mehr eindeutig ist. So bezeichnen die Ziffernfolgen 1, 1,0 und 0,999... im Dezimalsystem dieselbe rationale (sogar natürliche) Zahl 1. Während die ersten beiden Darstellungen sofort als gleichwertig erkennbar sind, wird eine geometrische Reihe benötigt, um

0{,}999\ldots = \sum_{i=1}^\infty 9\cdot 10^{-i} = 9\cdot \sum_{i=1}^\infty 10^{-i} = 9\cdot \frac{1}{9} = 1

nachzuweisen. Der „alltagstaugliche“ Beweis

1 = \frac{9}{9} = 9 \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot 0{,}111\ldots = 0{,}999\ldots

macht von dieser unendlichen Reihe Gebrauch. Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis b auf, denn falls n die Ziffer mit dem Wert b-1 bezeichnet, dann hat die Ziffernfolge

0{,}\mathbf{nnn}\ldots=0{,}\overline{\mathbf{n}}

den Wert 1.

[Bearbeiten] Darstellung reeller Zahlen

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder \sqrt{2}) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge, ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und \sqrt{2} geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

[Bearbeiten] Formeln für Ziffern und Operationen mit Ziffern

Die letzte Ziffer der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist der Rest von n bei Division durch b. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

n-b\left\lfloor\frac nb\right\rfloor

gegeben; dabei bezeichnet \lfloor{\cdot}\rfloor die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten k Ziffern von n gebildete Zahl der Rest von n bei Division durch bk.

Die k-te Ziffer (von rechts mit null beginnend gezählt) einer positiven reellen Zahl x ist

\left\lfloor\frac x{b^k}\right\rfloor-b\left\lfloor\frac x{b^{k+1}}\right\rfloor;

für negative k ergibt sich die entsprechende Nachkommastelle.

Die Anzahl der Ziffern der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist

\lfloor\log_bn\rfloor+1.

Hängt man an eine Zahl n in b-adischer Darstellung eine Ziffer z an, so erhält man die b-adische Darstellung der Zahl bn + z.

[Bearbeiten] Gebräuchliche Basen

  • Das bekannteste und verbreitetste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem (oder Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische.
  • Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem) ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da deren Logik allein auf Bits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.
  • Da Binärdarstellungen großer Zahlen unübersichtlich lang sind, wird an ihrer Stelle oft das Hexadezimal- oder Sedezimalsystem verwendet, das mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F) arbeitet. Hexadezimale und binäre Darstellung lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen (= 1 Nibble) einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen.
  • Mit BCD-Zahlen hat man ein System der Computertechnik, das bei 16-wertigen Gruppen nur 10 Werte tatsächlich nutzt. Es handelt sich somit um ein Dezimalsystem, das aber an das Binärsystem durch Nutzung der vom hexadezimalen her bekannten Stellen-Gliederung angepasst wurde.
  • In der Computertechnik wird neben dem Binär- und Hexadezimalsystem auch das Oktalsystem zur Basis 8 (Ziffern 0–7, 3 Binärstellen = 1 Oktalstelle) verwendet.
  • Das Vigesimalsystem verwendet als Basis die Zahl Zwanzig. Meistens wird es von Naturvölkern verwendet, die zum Zählen neben den Fingern auch noch die Zehen benutzen. Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. Aber siehe oben zum Unärsystem in Fünfer-Blöcken, das allerdings ein Additionsystem darstellt.
  • Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in drei oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die Drei galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).
  • Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).
  • In Bantusprachen sind die Namen der Zahlen 7, 8 und 9 Fremdwörter, was auf ein Zahlensystem zur Basis 6 hinweist. (Das Senärsystem eignet sich zum Zählen bis fünfunddreißig mit 2*5 Fingern.)
  • Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbezogen.
  • In Neuseeland war das System zur Basis 11 üblich, und einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

[Bearbeiten] Konvertierungen

Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenwert verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, der in der Regel nur im Dezimalsystem rechnet.

[Bearbeiten] Basis 10 → Basis 5

Die Zahl 47 sei im Fünfersystem darzustellen. Dazu wird schrittweise durch die neue Basis 5 dividiert. Der verbleibenden Reste bilden die neue Zahl zur Basis 5.


Basis 10 : 47

---------- 
| 47 | 2 |  // 47 : 5 = 9 Rest 2 (Entspricht 5 hoch 0 im Ergebnis)
----------
|  9 | 4 |  //  9 : 5 = 1 Rest 4 (Entspricht 5 hoch 1 im Ergebnis)
----------
|  1 | 1 |  //  1 : 5 = 0 Rest 1 (Entspricht 5 hoch 2 im Ergebnis)
----------

Basis 5 : 142
=============

Die linke Spalte beginnt mit der zu konvertierenden Zahl in der ersten Zeile. In den folgenden Zeilen dieser Spalte stehen die Quotienten der darüberliegenden Zeile dividiert durch 5 (Basis des neuen Zahlensystems). In der rechten Spalte steht jeweils der Rest aus der Division der linken Spalte ebenfalls mit 5. Alle Zahlen der rechten Seite stellen die Ziffern des Ergebnisses dar. Dabei ist die Zahl der untersten Zeile die höchstwertigste Ziffer im Ergebnis. Die Rechnung entspricht dem Horner-Schema — rückwärts.

[Bearbeiten] Basis 5 → Basis 10

Es sei die Zahl 142 aus dem Fünfersystem ins Zehnersystem umzuwandeln. Dazu wird schrittweise die alte Basis 5 multipliziert. Die Summe bildet die Zahl zur Basis 10.


Basis 5 : 142

----------
| 1 |  1 |  // 0 * 5 + 1 = 1  (entspricht 1 * 5 hoch 2)
----------
| 4 |  9 |  // 1 * 5 + 4 = 9  (entspricht 4 * 5 hoch 1)
----------
| 2 | 47 |  // 9 * 5 + 2 = 47 (entspricht 2 * 5 hoch 0)
----------

Basis 10 : 47
=============

In der linken Spalten stehen die Ziffern aus dem Fünfersystem (höchste Stelle von oben zuerst). In der rechten Spalte befinden sich die Zwischenergebnisse. Ein Zwischenergebnis entsteht durch Multiplikation des darüberstehenden Zwischenergebnisses mit 5 (Basis des Zahlensystems) plus links danebenstehende Ziffer des entsprechenden Stellenwertes im Fünfersystem. Die Tabelle entspricht dem Horner Schema.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Grundzahlen möglich, so zum Beispiel ein fakultätsbasiertes Zahlensystem.

Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler und reeller Zahlen nicht. Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt τ = (1+√5)/2 als Basis verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form r+s√5 mit rationalen r, s dar (dagegen hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung). Siehe dazu den englischen Artikel en:Golden mean base.

Genau wie man die reellen Zahlen über nach rechts unendliche Dezimalbrüche definieren kann, ist es möglich, formal mit nach links unendlichen b-adischen „Zahlen“ zu rechnen. Ist b = p eine Primzahl, erhält man den Körper der p-adischen Zahlen.

[Bearbeiten] Weiterführende Texte

Der Artikel Zahlbasiswechsel beschäftigt sich mit der Umrechnung der Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen. Eine Einführung zum Rechnen in Stellenwertsystemen befindet sich im Artikel Arithmetik in Stellenwertsystemen. Der Artikel Teilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Pages 65–66 (englisch).

[Bearbeiten] Weblinks

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