Tensorprodukt-Bezierfläche und ihr Kontrollnetz (blau)
In der Geometrie sind Bezierflächen Flächen im , die als räumliche Verallgemeinerungen von Bezierkurven definiert werden. Dabei geht man im Wesentlichen zwei Wege einer Verallgemeinerung. Dies führt auf:
Tensorprodukt-Bezierflächen. Es werden Produkte von Bernstein-Polynomen verwendet.
Es sei eine Bezierkurve
im , deren Kontrollpunkte von einem weiteren Parameter abhängen, und zwar sollen sie selbst auf Bezierkurven liegen: . Damit beschreibt
eine Fläche, die zu den Kontrollpunkten oder Kontrollnetz gehörige (m,n)-Tensorprodukt-Bezierfläche[3].
Die Fläche enthält die Punkte und die Parameter-Kurven ( oder sind konstant), insbesondere die Randkurven, sind Bezierkurven.
Man beachte, dass eine -Tensorprodukt-Bezierfläche zwar Geraden enthält, aber i.a. nicht eben ist. Z.B. erhält man für
Die Grundidee des Casteljau-Algorithmus für Kurven ist die lineare
Interpolation von Punktepaaren. überträgt man diese Idee auf
Tensorprodukt-Bezierflächen, so muss man eine bilineare Interpolation für vier Punkte definieren. Sie ist, wie bei Kurven,
am einfachsten Fall ablesbar: Eine (1,1)-Tensorprodukt-Bezierfläche
auf den vier Punkten
hat die folgende Darstellung:
Oder in Matrixform:
Man geht zunächst von einem -Kontrollnetz aus und bestimmt (wie bei Kurven) für und einem Parameterpaar
Zwischenvektoren, die durch bilineare Interpolation entstehen:
wobei ist. Dann sei der Punkt, der dem Parameterpaar zugeordnet wird.
Falls ist, ist ab der zweite Index konstant und es wird
nur noch linear interpoliert (wie bei Bezierkurven).
Es ist oft von Vorteil, wenn für eine -Tensorprodukt-Bezierfläche ist. Falls dies nicht der Fall ist, lässt sich dies mit Hilfe geeigneter Graderhöhungen erreichen.
Die Graderhöhung von auf der Tensorprodukt-Bezierfläche
wobei .
Analog erhält man die partielle Ableitung nach und alle höheren
Ableitungen.
Da die Vektoren
Tangentenvektoren der im Punkt beginnenden Randkurven
sind, ist
ein Normalenvektor der Fläche in diesem Punkt, falls beide linear
unabhängig sind. D.h. die Tangentialebene in den Eckpunkten einer
Tensorprodukt-Bezierfläche wird i.a. jeweils von dem Eckpunkt und seinen
Nachbarpunkten im Kontrollnetz aufgespannt.
Eine formale Verallgemeinerung der Bernstein-Polynome auf Funktionen mit zwei Variablen würde von der Beziehung
ausgehen. Damit die auftretenden Terme alle
positiv sind, muss in dem Dreieck liegen.
Zwei der drei Dreiecksseiten spielen als Intervalle auf den Koordinatenachsen eine besondere Rolle. Um diese Bevorzugung zu vermeiden, führt man homogene Koordinaten mit der Bedingung
ein.
nennt man Baryzentrische Koordinaten. Die verallgemeinerten Bernsteinpolynome ergeben sich aus der Entwicklung von zu:
mit und .
Kontrollpunkte einer Dreiecks-Bezierfläche
Mit den Abkürzungen und
ist
Ist nun
ein dreieckiges Netz von Punkten des , den Kontrollpunkten, so ist[4]
die zugehörige Dreiecks-Bezierfläche.
Die Abbildung zeigt die Anordnung der Punkte für den Fall .
Der Nachweis, dass der Casteljau-Algorithmus wirklich einen Punkt der Dreiecks-Bezierfläche liefert, verwendet (analog zum Kurvenfall) die Rekursionsformeln für Bernsteinpolynome:
Für weitere Details sei auf die Literatur verwiesen.