Bartlett-Test

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Als Bartlett-Test (auch: Bartletts Test) werden zwei verschiedene statistische Tests bezeichnet:

Beide Tests beruhen auf einem Likelihood-Quotienten-Test und setzen eine Normalverteilung voraus.

Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen

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Dieser Test prüft, ob Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z. B. die Varianzanalyse, setzen voraus, dass die Varianzen der Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett-Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 von Maurice Bartlett entwickelt.[1] Dieser Test wird auch Bartletts M-Test oder Neyman-Pearson-Bartlett-Test genannt.[2]

Der Bartlett-Test setzt eine Normalverteilung für jede der Gruppen voraus, wobei die Mittelwerte und die Varianzen unbekannt sind, . Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown-Forsythe-Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

Der Bartlett-Test testet die Nullhypothese, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

gegen

Wenn die Gruppen die Stichprobenumfänge , die Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianzen für haben, dann wird die Teststatistik definiert als

mit und .

Die Teststatistik ist, bei Richtigkeit der Nullhypothese, approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer als ist. Dabei bezeichnet das -Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden. Dieser kritische Wert wird manchmal auch als oberer -Prozentpunkt (engl. upper percentage point) der Verteilung bezeichnet und dann auch als notiert.

Der Bartlett-Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood-Quotienten-Tests.

Bartlett-Test auf Sphärizität

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Er prüft im Rahmen der Faktorenanalyse, ob die Korrelationsmatrix der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der Einheitsmatrix ist. Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, sollte die Faktorenanalyse nicht durchgeführt werden.

Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix gleich der Einheitsmatrix ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

gegen

Wenn die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

wobei die Anzahl der Beobachtungen und die Determinante von ist.[3]

Die Teststatistik ist approximativ -verteilt mit Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer ist als .

Zum Verständnis

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Ein vereinfachtes Verständnis des Prinzips ist aus einer geometrischen Metapher herleitbar: man stelle sich die untersuchten Fälle als Punkte im Raum der Variablen vor. Die Variablenwerte bilden dabei die Koordinaten. Bei einer sphärischen Kovarianzstruktur bilden die Punkte eine etwa kugelförmige Wolke -Sphäre ist ein selten gebrauchtes Wort für Kugel. Solch eine Situation ist ungünstig für Verfahren wie die Hauptkomponenten- oder die Faktorenanalyse, die ja versuchen, die Längsachse der Punktwolke zu finden, denn eine Kugel besitzt so etwas nicht.

Einzelnachweise

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  1. Maurice Bartlett: Properties of sufficiency and statistical tests. In: Proceedings of the Royal Statistical Society Series A. Band 160, 1937, S. 268–282, doi:10.1098/rspa.1937.0109, JSTOR:96803.
  2. R.E. Glaser: Bartlett's test for homogeneity of variances. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 3211–3213.
  3. SPSS (2007), SPSS 16.0 Algorithms, SPSS Inc., Chicago, Illinois, S. 293.