Bilipschitz-Äquivalenz

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Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

Eine Bijektion

zwischen metrischen Räumen und ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante gibt, so dass

für alle gilt.

  • Eine lineare Abbildung ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn gilt.
  • ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch .
  • Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S1, S2 einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent.
  • Es gibt Quasi-Isometrien, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.[1][2]
  • Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume[3] quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.[4]

Einzelnachweise

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  1. D. Burago, B. Kleiner: Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps. Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. online
  2. T. Dymarz: Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups. Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. online
  3. Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante gibt, so dass für alle die Ungleichung gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine Følner-Folgen gibt.
  4. K. Whyte: Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture. Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. online