Basisfolge

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Basisfolgen werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis zur Untersuchung von Banachräumen herangezogen. Es handelt sich dabei um Folgen, die eine Schauderbasis in dem von ihnen erzeugten Unterraum sind. Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauderbasis, aber es gibt stets Basisfolgen.

Eine Folge in einem Banachraum heißt eine Basisfolge, wenn eine Schauderbasis in ist, das heißt in der abgeschlossenen, linearen Hülle der Elemente . Die Basisfolge heißt normalisiert, wenn alle die Norm 1 haben.

Zwei Basisfolgen und in Banachräumen bzw. heißen äquivalent, wenn für jede Folge von Skalaren die Reihe genau dann in konvergiert, wenn in konvergiert. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen Banachraum-Isomorphismus gibt mit für alle .[1]

Zwei Basisfolgen und in Banachräumen bzw. heißen kongruent, falls es einen Banachraum-Isomorphismus gibt mit für alle .[2] Offenbar sind kongruente Basisfolgen äquivalent, die Umkehrung dieser Aussage scheitert daran, dass man einen Banachraum-Isomorphismus im Allgemeinen nicht zu einem solchen von auf fortsetzen kann.

  • Jede Schauderbasis in einem Banachraum ist eine Basisfolge, zum Beispiel die kanonischen Basen in den Folgenräumen oder das Haar-System in den Räumen Lp([0,1]), wobei .
  • Die Folge der Rademacherfunktionen ist in jedem Raum Lp([0,1]), , eine Basisfolge, die äquivalent zur kanonischen Basis in ist, wie sich leicht aus der Chintschin-Ungleichung ergibt.

Das Grinblum-Kriterium

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Das nach dem russischen Mathematiker Maximilian Michailowitsch Grinblum benannte Grinblum-Kriterium entscheidet für eine vorgelegte Folge in einem Banachraum, ob es sich um eine Basisfolge handelt. Demnach ist genau dann eine Basisfolge in , wenn alle von 0 verschieden sind und es eine Konstante gibt mit

für jede Folge von Skalaren und natürlichen Zahlen mit .[3][4]

Das kleinste , das obige Ungleichung für alle Skalare und erfüllt, heißt Basiskonstante der Basisfolge. Das ist nichts anderes als die Basiskonstante der Schauderbasis im Banachraum .

Existenz von Basisfolgen

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Das Auswahlprinzip von Bessaga-Pelczynski besagt, dass in einem unendlichdimensionalen Banachraum jede Folge mit für alle , die schwach gegen 0 konvergiert, eine Teilfolge enthält, die Basisfolge ist. Daraus folgt insbesondere

  • Jeder unendlichdimensionale Banachraum enthält einen abgeschlossenen Unterraum, der eine Schauderbasis hat.[5]

Es stellt sich sofort die Frage, ob jeder unendlichdimensionale Banachraum sogar einen abgeschlossenen Unterraum mit unbedingter Schauderbasis besitzt. Dieses Problem war lange offen, bis William Timothy Gowers und Bernard Maurey 1993 ein negatives Beispiel vorlegten.[6]

Blockbasisfolgen

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Es sei Schauderbasis eines Banachraums . Eine Blockbasisfolge von ist eine Folge von Vektoren mit

  wobei .

Die entstehen demnach aus durch Bildung von Blöcken, woher der Name Blockbasisfolge rührt. Zudem kann man zeigen, dass tatsächlich eine Basisfolge ist, deren Konstante nicht größer als die Basiskonstante von ist.[7]

Dies ist eine wichtige Methode, aus gegebenen Basisfolgen durch Blockbildung neue zu gewinnen. Man kann zeigen, dass die aus den kanonischen Basen von oder gebildeten normalisierten Blockbasisfolgen zur Ausgangsbasis äquivalent sind. Das führt zu bedeutenden Konsequenzen über die Struktur dieser Folgenräume.[8]

Einzelnachweise

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  1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definitionen 1.1.8 und 1.3.1
  2. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 1.3.8
  3. M. M. Grinblum: Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа (B) (Einige Sätze über Basen in Räumen vom Typ (B)), C. R. Dokl. Akad. Sci. URSS (1941), Band 31, Seiten 428–432
  4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 1.1.9
  5. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Kapitel V: Basic Sequences
  6. W. T. Gowers, B. Maurey: The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc. (1993), Band 6, Seiten 851–874
  7. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 1.3.4 und Lemma 1.3.5
  8. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Kapitel 2: The Classical Sequence Spaces