In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.
Es sei
eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra
ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn
für ein
und
![{\displaystyle \forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec95ab4a27082f3812e34bd52bbb66a2d66d685)
gilt.
Eine Cartan-Unteralgebra von
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59614620b3a6c08606f80e6848ebeae658b6821c)
ist die Algebra der Diagonalmatrizen
.
Jede Cartan-Unteralgebra
ist zu
konjugiert.
Dagegen hat
zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6364f474f9ce2be17f7bca6269320ac8ed6bdc8)
und
.
Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.
Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik
gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.
Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen
erzeugt wird (für
in der Lie-Algebra und
nilpotent).
Wenn
eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra
abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung
auf
ist simultan diagonalisierbar mit
als Eigenraum zum Gewicht
. Das heißt, es gibt eine Zerlegung
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2251f78fedfa2d8e172ba8b40c2b808883e0561a)
mit
![{\displaystyle \mathrm {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a}},Y\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e0366c8cbe89fad206bbe2872685ae069b9034)
und
.
Im Beispiel
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a12497004abafd2273cf21c1676fa318e36df)
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4d102bef2862a33ed604a9a15e1cdb09a16fed)
ist, wenn
die Elementarmatrix mit Eintrag
an der Stelle
und Einträgen
sonst bezeichnet
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be596f82c70046c40021b484da1d51fd6d6374ac)
mit
für
.
- Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
- Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.