Typ-III-Von-Neumann-Algebra

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Typ-III-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich nach einem Satz von M. Takesaki aus Typ-II-Von-Neumann-Algebren konstruieren.

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element , das heißt, es gilt . Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus und stets folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.[1]

Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.

Satz von Takesaki

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Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II-Algebren zurück:

Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra gibt es W*-dynamisches System , wobei eine Typ-II-Algebra ist, so dass .[2]

Dazu verwendet man das W*-dynamische System , das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II-Algebra . Mit dem dualen W*-dynamischen System folgt dann

    wegen Dualität
,     da eine Typ-III-Von-Neumann-Algebra ist.[3]

Connes-Klassifikation von Typ-III-Faktoren

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Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum , konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl , die dann zum Begriff des Typ-IIIλ-Faktors führt.

Sei ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra . Dann gibt es eine kleinste Projektion mit . Dann ist eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator . Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum in . Man definiert

.

Man kann zeigen, dass 0 genau dann in liegt, wenn vom Typ III ist, anderenfalls gilt .[4] Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:[5]

  • für ein

Im ersten Fall nennt man einen Typ-III0-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-IIIλ-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III1-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.

Sind verschieden, so ist ein Typ-IIIλ-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-IIIµ-Faktor, denn die Menge ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.

Wir wollen kurz die Existenz der Typ-IIIλ-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand auf der CAR-Algebra. Zu einem kann man rekursiv Zustände definieren, wobei

  • die identische Abbildung sei und
  • für jedes , wobei als -Matrix mit Elementen aus geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von auf gleich , denn gemäß der Einbettung

ist

.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand , der auf allen mit übereinstimmt. Zum Zustand gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung auf einem Hilbertraum . Für ist das Bild eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ IIIλ ist, wobei .[6]

Einzelnachweise

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  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 6.5.1
  2. A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem II.4.8
  3. A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Anhang C
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.5
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.7 + 8.15.11
  6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.13