Dawson-Funktion

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Beide reellen Dawson-Funktionen zusammen

In der Mathematik ist die Dawson-Funktion (auch Dawsons Funktion oder Dawson-Integral) der Name folgender Funktionen

für und

für .

Die Funktionen stehen in folgender Beziehung zueinander

Für alle komplexen Werte sind die Lösungen der Differentialgleichungen

Es handelt sich bei um die einseitige Sinustransformation resp. Sinus-Hyperbolicus-Transformation des gaußschen Fehlerintegrals und somit ist die Dawson-Funktion keine elementare Funktion.

Der britische Mathematiker Henry Gordon Dawson ist für diese Funktionen namensgebend.

Die Dawson-Funktion ist das Produkt aus und dem Integral über .

Die Dawson-Plus-Funktion ist

.

Die Dawson-Minus-Funktion ist

.

Elementare Eigenschaften

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Es gilt

und

wobei die komplexe Fehlerfunktion und die imaginäre Fehlerfunktion

bezeichnet.

Mit der Substitution im Integral erhält man auch folgende Darstellung

Kurvendiskussion

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Dawson-Plus-Funktion
Dawson-Minus-Funktion

Sowohl die Dawson-Plus-Funktion als auch die Dawson-Minus-Funktion zählen zu den sogenannten ganzen Funktionen und sind somit für alle komplexen Zahlen definiert. Im Reellen hat die Dawson-Plus-Funktion einen zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen. Die Extrempunkte ergeben sich aus der Gleichung . An der Stelle (gerundet) liegt ein relatives Minimum vor, an der Stelle (gerundet) ein relatives Maximum. Für positive Abszissenwerte ist die Dawson-Plus-Funktion positiv und rechtsgekrümmt und für negative Abszissenwerte ist sie negativ und linksgekrümmt. Die Dawson-Minus-Funktion ist eine bijektive Funktion, die für alle reellen Abszissenwerte eine positive Steigung aufweist. Diese Funktion ist für positive Abszissenwerte linksgekrümmt und für negative Abszissenwerte rechtsgekrümmt.

Differentialgleichungen

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Somit gelten diese Ableitungen und diese Differentialgleichungen:

Daraus folgen diese beiden Differentialgleichungen:

Beziehung zur Fehlerfunktion

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Dawson-Plus-Funktion

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Erf-Funktion und Erfc-Funktion

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Es gilt folgende Beziehung zur komplexen Fehlerfunktion und zur Faddeeva-Funktion

wobei die komplementäre Fehlerfunktion

bezeichnet.[1]

Sinus-Transformation des Gaussschen Fehlerintegrals

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Als Sinus-Transformation des Gaussschen Fehlerintegrals hat die Dawson-Plus-Funktion folgende weitere Identität:

Dawson-Minus-Funktion

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Als Sinus-Hyperbolicus-Transformation des Gaußschen Fehlerintegrals hat die Dawson-Minus-Funktion diese weitere Identität:

Reihenentwicklungen

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Die Maclaurinschen Reihen für die beiden Dawsonschen Funktionen lauten so:

Mit den Dawson-Funktionen kann das Gaußsche Glockenkurvenintegral bewiesen werden:

Für dieses Integral der Glockenkurve gilt mit der genannten Definition der Dawson-Minus-Funktion diese Formel:

Diese Funktion hat die nun gezeigte Ableitung:

Somit gilt folgende Integralidentität:

Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion von der nun genannten Formel bezüglich x entsteht diese Formel:

Durch Bildung des Grenzwertes entsteht dann die anschließende Gleichung:

Daraus folgt dieses Endresultat:

  • Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
  • Dawson, H. G. (1897). "On the Numerical Value of . Proceedings of the London Mathematical Society. s1-29 (1): 519–522. doi:10.1112/plms/s1-29.1.519.
  • Mofreh R. Zaghloul and Ahmed N. Ali, "Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions," ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). arXiv:1106.0151.

Einzelnachweise

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  1. J. H. McCabe: A Continued Fraction Expansion, with a Truncation Error Estimate, for Dawson's Integral. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Mathematics of Computation. Band 28, Nr. 127, 1974, S. 811–816.