Heaviside-Funktion

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Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

Heaviside-Funktion

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt auch davon abweichende Notationen geläufig:

  • , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
  • und nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
  • nach der Bezeichnung englisch unit step function.
  • Auch wird häufig verwendet.
  • In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen

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Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

mit . Es kann also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann ist.

Durch die Wahl und folglich erreicht man, dass die Gleichungen

und damit auch

für alle reellen gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

Differenzierbarkeit

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Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man und geeignet approximiert, z. B. durch

sowie

wobei jeweils der Grenzwert betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen und aus der Fallunterscheidung in der Definition:

  • Für gilt
  • Für tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt
    .

Zusammengenommen gilt also

beziehungsweise

.

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

.