Glattheitsbedingung

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In der mathematischen Theorie der normierten Räume werden gewisse Klassen solcher Räume durch Eigenschaften der Norm definiert. Hier betrachtet man Glattheitsbedingungen, das heißt die Differenzierbarkeitseigenschaften der Norm. Daneben gibt es eine Reihe von Konvexitätsbedingungen, die über die Dualräume mit den Glattheitsbedingungen zusammenhängen.

Glattheitsbedingungen

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Es sei ein normierter Raum mit der Einheitssphäre . Man kann zeigen, dass für die Grenzwerte

existieren und stets ist. Man sagt, die Norm sei im Punkt in Richtung Gâteaux-differenzierbar, wenn Gleichheit besteht. Den gemeinsamen Wert bezeichnet man dann mit

und sagt, das Gâteaux-Differential existiere in in Richtung . Durch Forderungen an diesen Grenzwert werden Klassen normierter Räume definiert.

Die einfachste Forderung an den Grenzwert zum Gâteaux-Differential ist dessen Existenz. Wir definieren:

heißt glatt, wenn das Gâteaux-Differential für alle existiert.[1]

Gleichmäßig glatte Räume

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Der Grenzwert in der Definition der Glattheit existiert für jedes Paar . Fordert man hier gleichmäßige Konvergenz, erhält man eine kleinere Klasse normierter Räume:

heißt gleichmäßig glatt, wenn das Gâteaux-Differential gleichmäßig auf existiert.[2]

Fréchet-glatte Räume

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Indem man die Gleichmäßigkeitsforderung in der Definition der gleichmäßigen Glattheit auf die Richtungsvariable einschränkt, gelangt man zu folgender Definition:

heißt Fréchet-glatt, wenn das Gâteaux-Differential für jedes gleichmäßig für existiert.[3]

Gleichmäßig Gâteaux-glatte Räume

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Die folgende Klasse normierter Räume ergibt sich, wenn man Gleichmäßigkeit für die erste Variable fordert:

heißt gleichmäßig Gâteaux-glatt, wenn das Gâteaux-Differential für jede Richtung gleichmäßig für existiert.[4]

Sehr glatte Räume

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Ist glatt, so gibt es zu jedem genau ein mit . Dadurch wird eine Abbildung definiert, die man die sphärische Abbildung nennt und von der man zeigen kann, dass sie bzgl. der relativen Normtopologie auf und der relativen schwach-*-Topologie auf stetig ist. Die folgende Definition verschärft daher den Begriff des glatten Raums:

Ein normierter Raum heißt sehr glatt, wenn er glatt ist und die sphärische Abbildung bzgl. der relativen Normtopologie auf und der relativen schwachen Topologie auf stetig ist.[5]

Die noch stärkere Stetigkeit bzgl. der Normtopologien führt zum oben bereits erwähnten Begriff des gleichmäßig glatten Raums.

Zusammenhänge zwischen den Raumklassen

Dieses Diagramm gibt eine Übersicht über die Zusammenhänge zwischen den Raumklassen, wobei die Klasse der Innenprodukt-Räume die speziellste ist. Ein Pfeil von einer Klasse in die andere bedeutet, dass jeder normierte Raum der ersten Klasse auch der zweiten angehört. Die Reflexivität eines normierten Raums bedeutet, dass die Vervollständigung ein reflexiver Raum ist. Man beachte, dass mit Ausnahme der Reflexivität und natürlich der untersten Eigenschaft, ein normierter Raum zu sein, jede der Eigenschaften beim Übergang zu einer äquivalenten Norm verloren gehen kann. Folgende Standard-Abkürzungen, die zum Teil auf die entsprechenden englischen Bezeichnungen zurückgehen, wurden verwendet:

  • US: gleichmäßig glatt (uniformly smooth)
  • UG: gleichmäßig Gâteaux-glatt (uniformly Gâteaux smooth)
  • F: Fréchet-glatt (Fréchet smooth)
  • VS: sehr glatt (very smooth)

Alle hier dargestellten Beziehungen finden sich im unten angegebenen Lehrbuch von Robert E. Megginson.

Zusammenhänge mit Konvexitätsbedingungen

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Es seien ein normierter Raum und sein Dualraum. Dann gelten folgende Aussagen:

  • Ist strikt konvex, so ist glatt, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.[6]
  • Ist glatt, so ist strikt konvex, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.[7]
  • Ist stark konvex, so ist Fréchet-glatt, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.[8]
  • ist genau dann gleichmäßig glatt, wenn gleichmäßig konvex ist. Die Rollen von und können vertauscht werden.[9]
  • ist genau dann stark konvex, wenn Fréchet-glatt ist. Die Rollen von und können vertauscht werden.[10]
  • ist genau dann gleichmäßig Gâteaux-glatt, wenn schwach* gleichmäßig konvex ist.[11]

Glattheitsmodul

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Ist ein normierter Raum, so heißt

der Glattheitsmudul von .[12]

Die Untersuchung dieser Funktion ermöglicht weitere Einblicke in die hier vorgestellten Raumklassen. So gilt zum Beispiel:

  •   ist gleichmäßig glatt     .

Das wird im unten angegebenen Lehrbuch von Istratescu als Definition der gleichmäßigen Glattheit verwendet.[13] Für den Stetigkeitsmudul gilt die Abschätzung

  für jeden gleichmäßig konvexen Raum.

Im Extremfall erhält man eine Charakterisierung der Hilberträume:

  •   ist Hilbertraum   ist ein gleichmäßig konvexer Banachraum mit   .[14]

Im angegebenen Lehrbuch von Istratescu finden sich weitere Glattheitseigenschaften, die Klassen normierter Räume definieren. Dieses Buch enthält leider viele Fehler und beschränkt sich auf Banachräume. Daher wurden die meisten Einzelnachweise auf das Lehrbuch von R. E. Megginson bezogen, auch wenn die dortige Darstellung nicht so umfangreich angelegt ist.

Einzelnachweise

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  1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Das ist nicht die dortige Definition, aber äquivalent dazu, Korollar 5.4.18
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Das ist nicht die dortige Definition, aber äquivalent dazu, Satz 5.5.6
  3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.6.1
  4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.6.13
  5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.6.19
  6. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.4.5
  7. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.4.6
  8. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.6.12
  9. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.5.12
  10. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.6.9
  11. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.6.15
  12. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Definition 2.7.2, dort nur für Banachräume definiert
  13. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Definition 2.7.3
  14. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Korollare 2.7.9 und 2.7.10