Grüneisen-Parameter

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Der Grüneisen-Parameter oder auch (nach Eduard Grüneisen) beschreibt die Abhängigkeit der Frequenz von Gitterschwingungen (Phononen) in einem Kristall von der relativen Volumenänderung, die ihrerseits von der Temperatur abhängt. Er dient der Beschreibung anharmonischer Effekte in Kristallen, die weder elektrisch leitend noch magnetisch sind, und wird verwendet in der Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen.

Aufgrund der Äquivalenzen vieler Eigenschaften und Ableitungen innerhalb der Thermodynamik (siehe z. B. Maxwell-Relationen) gibt es viele Formulierungen des Grüneisen-Parameters, die gleichermaßen gültig sind und zu zahlreichen Interpretationen seiner Bedeutung führen. Einige Formulierungen für den Grüneisen-Parameter sind:

Dabei ist das Volumen, und sind die spez. Wärmekapazitäten bei konstantem Druck und Volumen, die Energie, die Entropie, die Wärmeausdehnung des Volumens, und sind die adiabatischen und isothermen Kompressionsmodule, ist die Schallgeschwindigkeit im Medium, und ist die Dichte. Der Grüneisen-Parameter ist dimensionslos.

Mikroskopische Definition über die Phononenfrequenzen

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In einem einfachen Modell nimmt man an, dass alle Wechselwirkungen in einem Kristall harmonisch sind. Dies beschreibt reale Festkörper jedoch nur unzureichend, da diese z. B. eine Volumenausdehnung mit steigender Temperatur zeigen, was von einem solchen harmonischen Modell nicht berücksichtigt wird. Darum führt man Terme höherer Ordnung in das Wechselwirkungs-Potential im Festkörper ein und erhält neue Effekte.

Somit hängt jetzt die relative Änderung δω/ω der Schwingungsfrequenz eines Phonons bestimmten Impulses und in einem bestimmten Phononenzweig linear von der relativen Volumenausdehnung δV/V ab:

Dabei ist der dimensionslose Grüneisenparameter definiert als:

Typische Werte für liegen bei Zimmertemperatur zwischen 1 und 2 (s. hier), d. h. das Volumen und die Phononenfrequenzen ändern sich etwa gleich stark.

Streng genommen muss für jede Mode ein eigener Grüneisenparameter definiert werden, insbesondere können sich transversale und longitudinale Moden unterscheiden. Allerdings skalieren im Debye- bzw. Einstein-Modell alle Frequenzen mit der Debye-Frequenz bzw. mit der Einstein-Frequenz . Entsprechend gibt es auch nur eine Grüneisenkonstante für alle Moden:

mit

Dies ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass spezifische Wärme und Ausdehnungskoeffizient eine ähnliche Temperaturabhängigkeit aufweisen. Deshalb ist die Definition eines konstanten Grüneisenparameters sinnvoll.

Es kann gezeigt werden, dass die Summe aller in der ersten Brillouin-Zone zu einer makroskopischen bzw. thermodynamischen Definition von führt, die wie folgt geschrieben werden kann:[1]

Dabei steht für die Wärmekapazität pro Partikel, für den linearen thermische Ausdehnungskoeffizienten und für das isotherme Kompressionsmodul. Wird als gewichtetes Mittel definiert, bei dem die Beiträge der partiellen Schwingungsmoden zur Wärmekapazität sind, sodass sich ergibt, kann der Grüneisen-Parameter wie in der Einleitung definiert werden als:

und als Änderung des Drucks p mit der inneren Energie U bei konstantem Volumen V:

Damit wird der Grüneisen-Parameter direkt messbar. Man kann die innere Energie in einem Bereich des Kristalls bei konstantem Volumen erhöhen, wenn man z. B. mit einem Laserpuls einstrahlt. Dabei wird eine Druckwelle erzeugt, die man dann an der Kristalloberfläche detektiert.

Einzelnachweise

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  1. L. Vočadlo, J.P. Poirer, G.D. Price: Grüneisen parameters and isothermal equations of state. In: American Mineralogist. Band 85, Nr. 2, Februar 2000, ISSN 0003-004X, S. 390–395, doi:10.2138/am-2000-2-319 (degruyter.com [abgerufen am 2. Juli 2023]).