Graph von Gruppen

In der Mathematik sind Graphen von Gruppen eine Konstruktion der Gruppentheorie, mit der iterierte amalgamierte Produkte und HNN-Erweiterungen konstruiert werden können und die in der Bass-Serre-Theorie von Bedeutung ist.

Definition

Ein Graph von Gruppen wird durch die folgenden Daten gegeben:

• ein gerichteter zusammenhängender Graph $(E,K)$, so dass für jede Kante $k=(e_{0},e_{1})\in K$ auch die umgedrehte Kante ${\overline {k}}=(e_{1},e_{0})$ zu $K$ gehört
• eine „Eckengruppe“ $G_{e}$ für jede Ecke $e\in E$
• eine „Kantengruppe“ $G_{k}$ für jede Kante $k\in K$, so dass $G_{k}=G_{\overline {k}}$ für alle $k$
• injektive Homomorphismen $\alpha _{k,i}\colon G_{k}\to G_{e_{i}},i=0,1$ für jede Kante $k=(e_{0},e_{1})\in K$

Fundamentalgruppe

Für die Definition der Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen muss zunächst ein Spannbaum $T$ im Graphen $(E,K)$ gewählt werden. Die Fundamentalgruppe ist letztlich aber vom gewählten Spannbaum unabhängig.

Die Fundamentalgruppe des Graphen von Gruppen ist definiert als das freie Produkt

$(\ast _{e\in E}G_{e})\ast F(K)$

(wobei $F(K)$ die freie Gruppe mit Basis $K$ bezeichnet) modulo der folgenden Relationen:

• ${\overline {k}}\alpha _{k,0}(g)k=\alpha _{k,1}(g)$ für alle $k\in K,g\in G_{k}$
• ${\overline {k}}k=1$ für alle $k\in K$
• $k=1$ für alle im Spannbaum $T$ vorkommenden Kanten

Beispiele

• Es sei $(E,K)$ der aus einer Kante $k=(e_{0},e_{1})$ mit zwei Eckpunkten $e_{0},e_{1}$ bestehende Graph. Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen das amalgamierte Produkt

$G_{e_{0}}*_{G_{k}}G_{e_{1}}$.

• Es sei $(E,K)$ der aus einer Kante $k=(e,e)$ mit zwei übereinstimmenden Eckpunkten $e_{0}=e_{1}$ bestehende Graph (eine „Schleife“). Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen die HNN-Erweiterung

$G_{e}*_{\alpha }$

für den durch

$\alpha :=\alpha _{k,1}(\alpha _{k,0})^{-1}\colon \alpha _{k,0}(G_{k})\to \alpha _{k,1}(G_{k})$

gegebenen Homomorphismus $\alpha$ zwischen den Untergruppen $\alpha _{k,0}(G_{k})$ und $\alpha _{k,1}(G_{k})$ von $G_{e}$.

Siehe auch

• Bass-Serre-Baum

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. Rédigé avec la collaboration de Hyman Bass. Astérisque, No. 46. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
• englische Übersetzung: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5