Hyperkonvexe Kurve

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In der Mathematik sind hyperkonvexe Kurven gewisse Kurven im projektiven Raum, die unter anderem in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung sind.

Hyperkonvexe Kurven im projektiven Raum

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Sei . Der projektive Raum ist der Raum aller 1-dimensionalen Unterräume des . Eine geschlossene Kurve

heißt hyperkonvex, wenn für jedes -Tupel paarweise unterschiedlicher Punkte gilt:

,

mit anderen Worten: wenn kein in der linearen Hülle der enthalten ist.

Eine hyperkonvexe Kurve heißt Frenet-Kurve, wenn es eine Familie von Abbildungen

in die Grassmann-Mannigfaltigkeit gibt, so dass

  • für und alle -Tupel paarweise unterschiedlicher Punkte ist eine direkte Summe
  • für und für jede gegen konvergierende Folge von r-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte ist .

Man beachte, dass die durch eindeutig bestimmt sind. Falls beliebig oft differenzierbar ist, dann ist der von aufgespannte Unterraum, der Begriff stimmt also mit dem in der Differentialgeometrie gebräuchlichen Begriff einer Frenet-Kurve überein.

Hitchin-Komponente

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Die Hitchin-Komponente ist eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät einer Flächengruppe in , siehe Höhere Teichmüller-Theorie, die von Hitchin ursprünglich mit Hilfe von Higgs-Bündeln beschrieben wurde. Einer geometrischen Untersuchung zugänglich wird die Hitchin-Komponente durch folgenden Satz von Labourie:

Wenn eine Darstellung einer Flächengruppe zur Hitchin-Komponente gehört, dann gibt es eine hyperkonvexe Frenet-Kurve

,

die -äquivariant bzgl. der kanonischen Wirkung von auf ihrem Rand im Unendlichen und von auf ist. Man kann zeigen, dass jede äquivariante hyperkonvexe Kurve eine Frenet-Kurve ist. (Labourie)

Darstellungen, für die eine äquivariante hyperkonvexe Kurve existiert, werden als hyperkonvexe Darstellungen bezeichnet.

Es gilt auch die Umkehrung: Wenn eine Darstellung hyperkonvex ist, dann gehört sie zur Hitchin-Komponente. (Guichard)

  • François Labourie: Anosov flows, surface groups and curves in projective space. Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 51–114. pdf
  • Olivier Guichard: Composantes de Hitchin et représentations hyperconvexes de groupes de surface. J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 391–431 pdf