Kanonischer stochastischer Prozess

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Kanonischer Prozess)
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Ein kanonischer stochastischer Prozess, kurz kanonischer Prozess, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine allgemeine Formulierung eines stochastischen Prozesses, die sich durch ihre Einfachheit auszeichnet. Dabei werden die Koordinatenabbildungen eines großen zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes als Zufallsvariablen des stochastischen Prozesses aufgefasst. Der zugrundeliegende Messraum wird dann auch als kanonischer Raum bezeichnet.

Gegeben sei eine beliebige nichtleere Indexmenge sowie eine nichtleere Grundmenge und eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge. Betrachtet man die Projektionen

,

die für alle definiert sind durch

,

so heißt der stochastische Prozess der kanonische Prozess auf . Der Messraum heißt dann auch der kanonische Raum des Prozesses.

Die Verteilungen der Zufallsvariablen werden durch die Vorgabe eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf dem Messraum definiert, sie sind dann genau die eindimensionalen Randverteilungen. Hierfür benötigt man unter Umständen Aussagen über die Existenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf abzählbaren oder überabzählbaren Produkten von Mengen wie den Satz von Ionescu-Tulcea oder den Erweiterungssatz von Kolmogorov.

Betrachtet man die Indexmenge sowie als Grundraum versehen mit der Borelschen σ-Algebra, also und ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf sowie das Produktmaß , so besitzen die Projektionen auf die einzelnen Komponenten die Verteilungen . Der kanonische Prozess liefert hier aufgrund der Eigenschaften des Produktmaßes unabhängig identisch -verteilte Zufallsvariablen.