Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum $X$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in $X$ eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

Definitionen

Es seien $X$ ein Banachraum, $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ein messbarer Raum und $\mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow X$ ein vektorielles Maß. Man sagt, $\mu$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:

$\mu$ ist von beschränkter Variation.
Ist $\lambda \colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R}$ ein endliches, positives Maß mit $\mu \ll \lambda$ , so gibt es eine bzgl. $\lambda$ Bochner-integrierbare Funktion $f\colon \Omega \rightarrow X$ mit $\mu (A)=\int _{A}f\mathrm {d} \lambda$ für alle $A\in {\mathcal {A}}$ .

Die Schreibweise $\mu \ll \lambda$ bedeutet wie üblich, dass $\mu$ absolut stetig bzgl. $\lambda$ ist, das heißt, dass für alle $A\in {\mathcal {A}}$ aus $\lambda (A)=0$ bereits $\mu (A)=0$ folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.

Schließlich definiert man, ein Banachraum $X$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in $X$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.^[1]^[2]

Beispiele

Der Banachraum $\mathbb {R}$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Das ist genau die Aussage des Satzes von Radon-Nikodym.
Jeder reflexive Raum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[3] Damit haben die Folgenräume $\ell ^{p}$ und die L^p-Räume für $1<p<\infty$ sowie alle Hilberträume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Satz von Dunford-Pettis: Jeder separable Dualraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[4]^[5] Beispiele hierfür sind $\ell ^{1}$ oder der Raum ${\mathcal {N}}(\ell ^{2})$ der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$ . Allgemeiner hat jeder Dualraum, der Unterraum eines schwach kompakt erzeugten Banachraums ist, die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[6]
Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so hat $\ell ^{1}(I)$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
Hat der Banachraum eine äquivalente sehr glatte Norm, so hat dessen Dualraum die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Insbesondere haben lokal schwach gleichmäßig konvexe Dualräume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[7]
Der Raum der Nullfolgen $c_{0}$ , der Raum der beschränkten Folgen $\ell ^{\infty }$ und die Funktionenräume $C([0,1])$ , $L^{1}([0,1])$ , $L^{\infty }([0,1])$ haben nicht die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[8]

Eigenschaften

Abgeschlossene Unterräume von Räumen mit Radon-Nikodym-Eigenschaft haben wieder die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[9]
Die Radon-Nikodym-Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenräume. Der Raum $c_{0}$ ist Quotient von $\ell ^{1}$ , denn jeder separable Banachraum ist Quotient von $\ell ^{1}$ , und dieser hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, jener aber nicht.
Der Satz von Davis-Huff-Maynard-Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Ein Banachraum $X$ hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn es zu jeder beschränkten Menge $B\subset X$ und zu jedem $\varepsilon >0$ ein $x\in B$ gibt, das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hülle von $B\setminus K_{\varepsilon }(x)$ liegt. Dabei bezeichnet $K_{\varepsilon }(x)$ die $\varepsilon$ -Kugel um $x$ .^[10]
Der Satz von Lewis-Stegall^[11] charakterisiert Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft mittels Operatoren: Ein Banachraum $X$ hat genau die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn für jeden Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )$ mit positivem, endlichen Maß $\lambda$ jeder stetige, lineare Operator $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X$ über $\ell ^{1}$ faktorisiert. Letzteres bedeutet, dass es zu jedem stetigen, linearen Operator $T\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X$ stetige, lineare Operatoren $R\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow \ell ^{1}$ und $S\colon \ell ^{1}\rightarrow X$ gibt mit $T=S\circ R$ .
Ein Resultat von Srishti Dhar Chatterji lautet, dass die Existenz der meisten Konvergenzarten für Banach-wertige Martingale $M_{n}$ (d. h. $M_{\infty }$ existiert unter entsprechenden Voraussetzungen) äquivalent zur Radon-Nikodym-Eigenschaft des darunterliegenden Raumes ist.^[12]

Die Krein-Milman-Eigenschaft

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte, dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.

Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft.^[13] Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem^[14], sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum $X$ äquivalent:^[15]

$X'$ (der Dualraum von $X$ ) hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
$X'$ hat die Krein-Milman-Eigenschaft.
Ist $Y\subset X$ ein separabler Unterraum von $X$ , so ist $Y'$ separabel.

Einzelnachweise

↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Seite 106
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3, Seite 213
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.45
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.42
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4: The Dunford-Pettis Theorem
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Theorem 2
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Korollar 4
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, (5.13)+(5.15)
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Satz 5.49
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3: The Davis-Huff-Maynard-Phelps Theorem
↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.36
↑ S. D. Chatterji: Martingale Convergence and the Radon-Nikodym Theorem in Banach Spaces. In: Mathematica Scandinavica. Band 22, 1968, S. 11–12 (eudml.org – Kapitel 6).
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §5, Theorem 1
↑ F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 118
↑ Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §6, Korollar 1

[1] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Seite 106

[2] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3, Seite 213

[3] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.45

[4] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Korollar 5.42

[5] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4: The Dunford-Pettis Theorem

[6] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Theorem 2

[7] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §4, Korollar 4

[8] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, (5.13)+(5.15)

[9] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Satz 5.49

[10] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §3: The Davis-Huff-Maynard-Phelps Theorem

[11] Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.36

[12] S. D. Chatterji: Martingale Convergence and the Radon-Nikodym Theorem in Banach Spaces. In: Mathematica Scandinavica. Band 22, 1968, S. 11–12 (eudml.org – Kapitel 6).

[13] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §5, Theorem 1

[14] F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 118

[15] Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 6, §6, Korollar 1

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