Die Itō-Formel (auch Itō-Döblin-Formel; selten auch Lemma von Itō), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, die Funktionen eines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen Differential- und Integralrechnung.
Itô publizierte 1951 einen Beweis.[1]
Sei
ein (Standard-)Wiener-Prozess und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt
![{\displaystyle h(W_{t})=h(W_{0})+\int _{0}^{t}h'(W_{s})\,{\rm {d}}W_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}h''(W_{s})\,{\rm {d}}s\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2369fb089f362ff77d9939b0034467cc4879447)
Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.
Für den durch
für
definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise
![{\displaystyle {\rm {d}}Y_{t}=h'(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}+{\frac {1}{2}}h''(W_{t})\,{\rm {d}}t\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f104e624e5c49e5eb489565d5696eaa5084a879)
Ein stochastischer Prozess
heißt Itō-Prozess, falls
![{\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}\,{\rm {d}}s+\int _{0}^{t}b_{s}\,{\rm {d}}W_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d871650e6c899c611ad9188a776c7857d79d6f5)
für zwei stochastische Prozesse
,
gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:
![{\displaystyle {\rm {d}}X_{t}=a_{t}\,{\rm {d}}t+b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723633ba7d895c7a2fadc7b99c37d1eae98d9cac)
Ist
eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch
definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}Y_{t}&={\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}X_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})({\rm {d}}X_{t})^{2}\\&=\left({\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,a_{t}+{\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})\,b_{t}^{2}\right){\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d38b6a8dc757cf05b19bceb60652e38c64dbd4)
Hierbei bezeichnen
und
die partiellen Ableitungen der Funktion
nach der ersten bzw. zweiten Variablen.
Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von
und Zusammenfassen der
- und
-Terme.
Die Formel lässt sich auf
Itō-Prozesse
verallgemeinern. Sei
in
in der ersten und
in den restlichen Variablen. Definiere
dann gilt
![{\displaystyle {\rm {d}}Y(t)={\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X(t))\,{\rm {d}}t+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial i}}(t,X(t))\,{\rm {d}}X_{i}(t)+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial i\partial j}}(t,X(t)){\rm {d}}[X_{i},X_{j}](t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd827aa1e55b160692bf22b26cfc993bee3a6ff)
Sei
ein
-wertiges Semimartingal und sei
. Dann ist
wieder ein Semimartingal und es gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{t})-F(X_{0})=&\sum _{j=1}^{d}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{d}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}^{c}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(F(X_{s})-F(X_{s-})-\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23758421b1b1cf32a6c54a4ecdb59230a212c6ec)
Hierbei ist
der linksseitige Grenzwert und
der zugehörige Sprungprozess. Mit
wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten
und
bezeichnet. Falls
ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte Summe in der Formel und es gilt
.
Schreibt man den Ausdruck
aus, so erhält man für eine Funktion
die Form
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})-f(X_{0})=&\sum _{j=1}^{d}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{d}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{k,j=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\Delta X_{s}^{k}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1acdfc2a743bfc0881687eac0e0c7741e4af7a)
wobei
.
Das Integrationsgebiet
bedeutet
.
Sei
ein
-Semimartingal und
, dann ist
ein Semimartingal und es gilt[3]
![{\displaystyle f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\circ dX_{s}^{i}+\sum \limits _{0<s\leq t}\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5231d693a84082d3120f041ac074bea236ced9da)
Hans Föllmer erweiterte die Formel von Itō auf (deterministische) Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation.[4]
Sei
eine reell-wertige Funktion und
eine Càdlàg-Funktion mit endlicher quadratischer Variation. Dann gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})&=f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c66519e0ead3a3187aacf652d264607741b8e9)
- Für
gilt
.
![{\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e4b6c5ee70c5a6cecc0f5c0c64adac18f08edd)
- eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes
![{\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a376a0fb836a1d29e612e20aca6f56261233ee7)
- ist.
- Hierzu wählt man
, also
.
- Dann ergibt die Formel mit
:
![{\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=\left[\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}t+\left[\sigma S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}W_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4361106c796478db21b77b0f13fbab02bf7939a)
- Ist
ein
-dimensionaler Wiener-Prozess und
zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für ![{\displaystyle Y_{t}=F(\mathbf {W} _{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19ea43aa105e4a80ca5ba38bf3bba68b4db23d2)
,
- wobei
den Gradienten und
den Laplace-Operator von
bezeichnen.
Es gibt verschiedene Varianten von Itō-Formeln für unendlich-dimensionale Räume (z. B. Pardoux[5], Gyöngy-Krylow[6], Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis[7]).
- Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.
- ↑ Kiyoshi Itô: On a formula concerning stochastic differentials. In: Nagoya Math. J. Band 3, 1951, S. 55–65 (projecteuclid.org).
- ↑ Hui-Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.
- ↑ Hans Föllmer: Calcul d'Ito sans probabilités. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 15, 1981, S. 143–144 (numdam.org).
- ↑ E. Pardoux, E: Équations aux dérivées partielles stochastiques de type monotone. In: Séminaire Jean Leray. Nr. 3, 1974 (numdam.org).
- ↑ I. Gyöngy und N. V. Krylov: Ito formula in banach spaces. In: Springer, Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Arató, M., Vermes, D., Balakrishnan, A.V. (eds) Stochastic Differential Systems. Band 36, 1981, doi:10.1007/BFb0006409.
- ↑ Z. Brzezniak, J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Ito's formula in UMD Banach spaces and regularity of solutions of the Zakai equation. 2008.