Logarithmisches Mittel

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In der Mathematik ist das logarithmische Mittel, also der logarithmische Mittelwert, ein bestimmter Mittelwert, der die Logarithmusfunktion verwendet.

Das logarithmische Mittel zweier verschiedener positivreeller Zahlen ist gegeben durch

Um auch den Fall zu erfassen, definiert man allgemeiner

Dann ist .

Das logarithmische Mittel ist eine streng monoton wachsende Funktion. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

[1]

Diese Ungleichung gilt für .

Der Beweis stützt sich auf die grafische Veranschaulichung des zugrunde liegenden Sachverhalts (Figur 1 und Figur 2). Wegen der schon vergebenen Bezeichnungen und für die Koordinatenachsen werden hier die positiven reellen Zahlen und mit vorgegeben.[2][3]

Aus Figur 1 resultiert der erste Beweisansatz

.

Nach Stammfunktionsbildung folgt hieraus zunächst

und schließlich nach einer elementaren Ungleichungsoperation

,

womit der rechte Teil der Ungleichung bewiesen ist.

Der zweite Beweisansatz wird aus Figur 2 ersichtlich:

Wieder ergibt sich nach Lösen des Integrals und mehreren Äquivalenzumformungen

und abschließend

.

Damit ist auch der linke Teil der Ungleichung bewiesen.

Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Es tritt meist dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Dies ist zum Beispiel bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen der Fall, beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Wärmetauschern oder Trennkolonnen.

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion ein mit

Für erhält man daraus

, also .

Das ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus und .

Außerdem erhält man für die Integration

Verallgemeinerungen

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Mehrere Variablen

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Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.

Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist

wobei die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnen.

Für , also für drei Variablen, führt dies zu

.

Verallgemeinert man das Integral zu

mit erhielte man

und als Spezialfall für drei Variablen

.

Andere Mittelwerte

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Das Stolarsky-Mittel etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.

  • Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986, doi:10.1007/BF01189983.
  • A. O. Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: American Mathematical Monthly, 92 (1985), S. 99–104.
  • Gao Jia, Jinde Cao: A New Upper Bound of the Logarithmic Mean. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.

Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality und Napier's Inequality in MathWorld
  2. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 142
  3. Mathematics Magazine, vol. 68, no. 4 (Oct. 1995), S. 305