Maclaurin-Ungleichung

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Die Maclaurin-Ungleichung (nach Colin Maclaurin) ist eine Aussage aus der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie verschärft die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, die besagt, dass das arithmetische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets mindestens so groß ist wie ihr geometrisches Mittel, in Formeln

für eine natürliche Zahl und . In der Verschärfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen, beispielsweise besagt die Ungleichung für drei Zahlen

Sei und seien positive reelle Zahlen, und definiere

dann gilt

Bemerkung: ist das arithmetische Mittel der Zahlen, das geometrische Mittel. Der Zähler von ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad  in .

Seien und wie angegeben. Definiere die Abbildung durch , diese lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben als .

Weil eine Polynomfunktion ist, sind auch alle ihre Ableitungen Polynomfunktionen; für mit ist also . Andererseits erhalten wir durch direkte Differentiation der Summendarstellung von , dass .

Nach dem Satz von Rolle sind auch alle positiv.

Wieder nach dem Satz von Vieta sind und .

Nach der AGM-Ungleichung ist und schließlich .