Die Maclaurin-Ungleichung (nach Colin Maclaurin) ist eine Aussage aus der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie verschärft die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, die besagt, dass das arithmetische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets mindestens so groß ist wie ihr geometrisches Mittel, in Formeln
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc4ddff236a7b793854f105a23358e2891d9562)
für eine natürliche Zahl
und
. In der Verschärfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen, beispielsweise besagt die Ungleichung für drei Zahlen
![{\displaystyle {\frac {x+y+z}{3}}\geq {\sqrt {\frac {xy+yz+zx}{3}}}\geq {\sqrt[{3}]{xyz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f784f5a2725fc87606081a780d6784aa378f5177)
Sei
und seien
positive reelle Zahlen, und definiere
![{\displaystyle S_{k}={\binom {n}{k}}^{-1}\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9dbaef324511e9a5cdc902e0b820d6e0d6d329)
dann gilt
![{\displaystyle S_{1}\geq S_{2}^{1/2}\geq \ldots \geq S_{n}^{1/n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77cc881bb95bfeb92310fe1638657922c084dbc)
Bemerkung:
ist das arithmetische Mittel der Zahlen,
das geometrische Mittel. Der Zähler von
ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad
in
.
Seien
und
wie angegeben. Definiere die Abbildung
durch
, diese lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben
als
.
Weil
eine Polynomfunktion ist, sind auch alle ihre Ableitungen Polynomfunktionen; für
mit
ist also
. Andererseits erhalten wir durch direkte Differentiation der Summendarstellung von
, dass
.
Nach dem Satz von Rolle sind
auch alle positiv.
Wieder nach dem Satz von Vieta sind
und
.
Nach der AGM-Ungleichung ist
und schließlich
.