Markow-Operator

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Ein Markow-Operator bezeichnet in der Stochastik und der Ergodentheorie einen Operator auf einem passenden Funktionenraum, der beschränkte, messbare Funktionen auf ebensolche abbildet und dabei die Masse erhält. Eng verknüpft mit dem Begriff ist der Begriff der Markow-Halbgruppe.

Die Terminologie ist nicht ganz einheitlich in der Literatur. Häufig versteht man unter einem Markow-Operator einen Integraloperator

,

der durch einen Wahrscheinlichkeitskern definiert wurde, und bezeichnet die Übergangshalbgruppe als Markow-Halbgruppe. Markow-Operatoren und deren Markow-Halbgruppen lassen sich aber auch ganz abstrakt definieren, ohne dass eine solche Kern-Darstellung existieren muss und diese werden im Artikel behandelt. Damit eine Kern-Darstellung existiert, darf der zugrundeliegende Messraum nicht beliebig sein und muss gewisse gute Eigenschaften besitzen, wie es zum Beispiel bei einem polnischen Raum der Fall ist. Eine dieser Eigenschaften ist, dass sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Produkt-σ-Algebra überhaupt in einen Kern zerlegen lässt.

Im Artikel behandeln wir lineare Markow-Operatoren, es können aber auch nicht-lineare Markow-Operatoren betrachtet werden. Des Weiteren meinen wir mit einem Markow-Operator einen Operator auf den messbaren Funktionen, dieser induziert aber auch einen Markow-Operator auf den Maßen, die dazugehörige Halbgruppe nennen wir duale Halbgruppe.

Markow-Operatoren sind nach Andrei Markow benannt.

Markow-Operator

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Sei ein Messraum und eine Menge von reellen, messbaren Funktionen .

Ein linearer Operator auf heißt Markow-Operator, wenn folgendes gilt[1]

  1. bildet beschränkte, messbare Funktionen auf beschränkte, messbare Funktionen ab.
  2. Sei die konstante Funktion , dann gilt . (Erhaltung der Masse / Markow-Eigenschaft)
  3. Falls , dann gilt . (Erhaltung der Positivität)

Abweichende Definitionen

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Es existieren abweichende Definitionen des Markow-Operators, gleich sind der 2. und 3. Punkt (Erhaltung der Masse und der Positivität) aber manche Autoren ersetzen den 1. Punkt. Der Markow-Operator wird dann üblicherweise auf den -Banachräumen als mit der Eigenschaft

definiert. Dies entspricht gerade der Eigenschaft, dass Dichten auf Dichten abgebildet werden.

Invariantes Maß

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Sei ein Messraum und ein positives, σ-endliches Maß darauf. Weiter sei eine Familie von Operatoren auf . Dann nennt man invariant unter , wenn für jede beschränkte, positive und messbare Funktion und jedes

gilt.

Markow-Halbgruppe

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Sei eine Familie von Markow-Operatoren definiert auf der Menge der beschränkten, messbaren Funktionen auf . Dann heißt eine Markow-Halbgruppe, wenn[2]

  1. .
  2. für alle .
  3. ein σ-endliche Maß auf existiert, welches invariant unter ist.

Duale Halbgruppe

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Jede Markow-Halbgruppe induziert auch eine duale Halbgruppe durch

Wenn invariant unter ist, dann bedeutet dies .

Infinitesimale Generator

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Seien nun eine Familie beschränkter, linearer Markow-Operatoren auf dem Hilbert-Raum , wobei wieder das invariante Maß bezeichnet. Der infinitesimale Generator der Markow-Halbgruppe ist definiert als

wobei seine Domäne der -Raum der Funktionen ist, für die dieser Grenzwert existiert und in liegt,[3]

Kern-Darstellung eines Markow-Operators

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Damit die in der Einleitung angesprochene Kern-Darstellung eines Markow-Operators existiert, muss der darunter liegende Messraum folgende Eigenschaften erfüllen:

  1. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß lässt sich in zerlegen, wobei die Projektion auf die erste Komponente ist und ein Wahrscheinlichkeitskern.
  2. Es existiert eine abzählbare Familie, welche die σ-Algebra erzeugt.

Definiert man nun ein σ-endliches Maß auf , so lässt sich zeigen, das jeder Markow-Operators eine Kern-Darstellung bezüglich besitzt.[4]

Die Wärmeleitungs-Halbgruppe

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Ein wichtige Beispiel ist die Wärmeleitungs-Gruppe (englisch heat semigroup), welche auch bronwsche Halbgruppe genannt wird. Die Wärmeleitungs-Gruppe auf wird durch

mit der gaußschen Kernel-Dichte

erzeugt (es wird bezüglich des Lebesgue-Maßes integriert). Der infinitesimale Generator der Wärmeleitungs-Halbgruppe ist der Laplace-Operator .[5]

  • Dominique Bakry, Ivan Gentil und Michel Ledoux: Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Hrsg.: Springer Cham. doi:10.1007/978-3-319-00227-9.
  • Tanja Eisner, Bálint Farkas, Markus Haase, Rainer Nagel: Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory. Hrsg.: Springer Cham. doi:10.1007/978-3-319-16898-2 (Kapitel 13).

Einzelnachweise

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  1. Dominique Bakry, Ivan Gentil und Michel Ledoux: Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Hrsg.: Springer Cham. S. 9–12, doi:10.1007/978-3-319-00227-9.
  2. Dominique Bakry, Ivan Gentil und Michel Ledoux: Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Hrsg.: Springer Cham. S. 12, doi:10.1007/978-3-319-00227-9.
  3. Dominique Bakry, Ivan Gentil und Michel Ledoux: Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Hrsg.: Springer Cham. S. 18, doi:10.1007/978-3-319-00227-9.
  4. Dominique Bakry, Ivan Gentil und Michel Ledoux: Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Hrsg.: Springer Cham. S. 7–13, doi:10.1007/978-3-319-00227-9.
  5. Dominique Bakry, Ivan Gentil und Michel Ledoux: Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Hrsg.: Springer Cham. S. 78, doi:10.1007/978-3-319-00227-9.