Zwischenwertsatz

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Zwischenwertsatz: Sei eine auf definierte stetige Funktion mit , dann gibt es mindestens ein mit

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich von stetigen Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, jeden Wert zwischen und annimmt. Haben insbesondere und verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von im offenen Intervall . Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Formulierung und Intuition hinter dem Zwischenwertsatz

Seien mit und eine stetige Funktion. Dann nimmt jeden beliebigen Wert zwischen und an mindestens einer Stelle an (d. h. ).

Formal heißt das, zu jedem (falls ) bzw. (falls ) existiert ein mit . Anders formuliert bedeutet dies , worin und .

Der Beweis setzt voraus, dass die Grenzen des betrachteten abgeschlossenen Intervalls endlich sind (gleichbedeutend: ist auch beschränkt und somit kompakt.). Tatsächlich gilt der Zwischenwertsatz auch für unbeschränkte abgeschlossene Intervalle; die dann zu beweisenden Behauptungen finden sich im Abschnitt Verallgemeinerung dieses Artikels.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte , und es sei . - Die Funktion

ist (als Komposition zweier stetiger Funktionen) stetig auf .

Wegen ist , wegen ist , insgesamt also

Zum Beweis der Behauptung ist hinreichend zu zeigen, dass eine Nullstelle hat, denn .

Zum Nachweis der Existenz von dient eine Folge von Intervallen mit folgenden (zu beweisenden) Eigenschaften:

  • Sämtliche Glieder respektieren die Ungleichungskette (1) (und schließen daher ein).
  • ist eine Intervallschachtelung (und definiert genau ein ).
  • ist eine Nullstelle von .

Eine Intervallfolge sei rekursiv definiert mit für das erste Intervall.

ist der Mittelpunkt des -ten Intervalls.

Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls seien

für : und
für : .

zu (i): Mit (1) ist nicht positiv, nicht negativ.

Beim Übergang von zu wird genau eine der Intervallgrenzen (bzw. ) genau dann durch eine neue Grenze ersetzt, wenn auch nicht positiv (bzw. nicht negativ) ist.
Also[Anm 1] gilt für bzw. , q.e.d.

zu (ii): Im folgenden Intervall ist die ersetzende Grenze größer als eine ersetzte untere Grenze , aber kleiner als eine ersetzte obere Grenze , indem der Intervallmittelpunkt von ist. Da der Übergang von zu den Intervalldurchmesser halbiert, ist der Intervalldurchmesser fast aller Folgeglieder kleiner als ein beliebig vorgegebener. ( ist eine Nullfolge.)

Behauptung: ist monoton steigend .

Beweis: Für ist nichts zu beweisen. Für folgt aus : .

Behauptung: ist monoton fallend .

Beweis: Für ist nichts zu beweisen. Für folgt aus : .

Behauptung: , ist eine Nullfolge. - Beweis: Der Durchmesser des Intervalls ist

für : ;
für : .
Insgesamt können alle auch geschrieben werden, und ist wegen eine (geometrische) Nullfolge.[Anm 2]

Mit (2), (3) und (4) ist eine Intervallschachtelung, die genau eine Zahl definiert.

Mit liegt im Intervall der Voraussetzung, q. e. d.

Bemerkung: Endlich viele Intervalle einer wie konstruierten Intervallschachtelung liegen dem numerischen Verfahren Bisektion zugrunde.

zu (iii): ist gemeinsamer Grenzwert der Folgen und ; wegen Stetigkeit von ist gemeinsamer Grenzwert der Folgen und . Die Beschränktheit der Folgen und bewirkt, dass weder positiv noch negativ ist.

Aus (ii) folgt[Anm 3]

,

hieraus mit dem Folgenkriterium vermöge der Stetigkeit von bei :

.

Mit (i) haben die Folgen bzw. eine obere bzw. unterer Schranke, die sich auf den jeweiligen Grenzwert fortsetzt:[Anm 4]

, ebenso , insgesamt also , q. e. d.

Alternativer Beweis

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Es reicht, den Fall zu betrachten. Sei beliebig. Für und ist die Behauptung klar. Im Folgenden sei also o. B. d. A. aus dem offenen Intervall . Es ist zu zeigen, dass ein existiert mit . Setze

.

Es gilt , da . Da beschränkt ist, ist

eine reelle Zahl.

Behauptung: Es gibt eine Folge in mit .

Hierzu: Da die größte untere Schranke ist, ist keine untere Schranke. Mithin gibt es zu jedem ein mit . Außerdem ist natürlich , da eine untere Schranke ist. Die so konstruierte Folge konvergiert nach dem Intervallschachtelungsprinzip wie gewünscht gegen . Dies zeigt die Behauptung.

Aus folgt mit den Grenzwertsätzen auch . Da stetig ist, gilt . Wegen ist weiter . Insbesondere folgt , da .

Wegen ist für alle großen . Weil folgt und somit . Zusammen mit der Stetigkeit von in ergibt sich durch Grenzübergang . Insgesamt also . q.e.d.

Die Funktion f nimmt den Wert u mit f(a) < u < f(b) an der Stelle c an.

Die Kosinus-Funktion ist im Intervall stetig, es ist und . Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, nämlich .

Verallgemeinerung

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Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes unter einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Daraus ist wieder der Zwischenwertsatz zu erhalten, weil Stetigkeit einer Funktion im topologischen Sinne die im Zwischenwertsatz für reelle Funktionen geforderte einschließt und weil eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist. Anders als hier im Abschnitt „Beweis“ braucht das betrachtete Intervall bei diesem Aufbau nicht beschränkt zu sein.

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)

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Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für Ableitungsfunktionen:[1][2]

Ist eine auf dem Intervall definierte differenzierbare Funktion mit , so nimmt die Ableitungsfunktion jeden Wert zwischen und an.

  1. Der Gedankengang entspricht einer vollständigen Induktion.
  2. Weiteres zur Konvergenz geometrischer Folgen hier.
  3. wegen der Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung
  4. vgl. Aussage zum Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge

Einzelnachweise

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  1. Fichtenholz, S. 206
  2. Köhler, S. 196