Algebra über einem kommutativen Ring

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Als Algebra über einem kommutativen Ring oder -Algebra (wobei ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition

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Sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und

eine zweistellige Verknüpfung auf , genannt „Multiplikation“.

Das Paar heißt „-Algebra“, wenn die Multiplikation bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente und jedes Ringelement gilt:

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt. Wird Assoziativität hinzugefügt, handelt es sich um eine assoziative Algebra.

Algebrenhomomorphismus

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Ein -Algebrenhomomorphismus von nach ist ein R-Modulhomomorphismus von nach , für den zusätzlich gilt, dass für alle ist.

Spezielle Definition

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Sei ein kommutativer Ring. Unter einer -Algebra versteht man einen Ring zusammen mit einem Ringhomomorphismus derart, dass alle Elemente von mit den Elementen aus vertauschbar sind:

Eine Algebra bezeichnet man in der Regel einfach mit . Man unterdrückt also den sogenannten Strukturhomomorphismus in der Notation. Hierbei wird dann statt geschrieben, sodass der Strukturhomomorphismus durch , gegeben ist. Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist, ist es nicht möglich, die Elemente mit ihren Bildern zu „identifizieren“.

  • Jede so definierte -Algebra kann als -Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als setzt. Dagegen lässt sich nicht jede -Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
  • Ferner kann jede so definierte -Algebra auch als -Bimodul aufgefasst werden vermöge .

Weitere Definitionen

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  • Eine -Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als -Modul endlich erzeugt ist. Es sei darauf hingewiesen, dass dies – im Gegensatz zur Verwendung des Wortes „endlich“ für Mengen oder auch für Gruppen oder Körper – nicht bedeutet, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist.
  • Eine -Algebra heißt endlich erzeugt, wenn es für ein einen surjektiven Algebrenhomomorphismus gibt.

Algebrenhomomorphismus

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Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen -Algebrenhomomorphismus von nach als einen Ringhomomorphismus von nach , für den zusätzlich gilt, dass ist.

  • Jeder Ring ist eine -Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen.
  • Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
  • Für einen kommutativen Ring , der nicht der Nullring ist, ist der Polynomring eine endlich erzeugte, aber keine endliche -Algebra.