Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Sierpiński-Zahlen. Für die nach Sierpiński benannte Konstante siehe
Sierpiński-Konstante.
Eine Sierpiński-Zahl (benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński) ist eine natürliche, ungerade Zahl
, für die die unendliche Zahlenfolge
mit
keine Primzahlen enthält.
ist eine Sierpiński-Zahl.
Beweis der Behauptung, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist:
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.[1]
Zu zeigen ist, dass
für alle natürlichen Zahlen
immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge
gibt, welche
teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 78557).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 3:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
ist.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {3}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {3}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {3}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {3}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bb22548f35e9168140d99bd9be8644f8ca0fa3)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
gerade ist, also wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
ist.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {5}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}{\pmod {5}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {3}}{\pmod {5}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {5}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {5}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf64ce7891f599d50ad81261c8889451a24fd9b)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
ist.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {7}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}{\pmod {7}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {7}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {7}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27850a8e6af45073ade3dfe45e273bcb049cf55)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {13}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {13}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {13}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {13}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {6}}&{\pmod {13}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {13}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {13}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {13}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {5}}&{\pmod {13}}\\2^{10}&=&1024&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {13}}\\2^{11}&=&2048&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {13}}\\2^{12}&=&4096&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {13}}\\2^{13}&=&8192&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {13}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31d865309b750850c75e0a5aa6a94ba166a564d)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 19:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {19}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {19}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {19}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {19}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {13}}&{\pmod {19}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {19}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {14}}&{\pmod {19}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {19}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {18}}&{\pmod {19}}\\2^{10}&=&1024&\equiv &{\underline {17}}&{\pmod {19}}\\2^{11}&=&2048&\equiv &{\underline {15}}&{\pmod {19}}\\2^{12}&=&4096&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {19}}\\2^{13}&=&8192&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {19}}\\2^{14}&=&16384&\equiv &{\underline {6}}&{\pmod {19}}\\2^{15}&=&32768&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {19}}\\2^{16}&=&65536&\equiv &{\underline {5}}&{\pmod {19}}\\2^{17}&=&131072&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {19}}\\2^{18}&=&262144&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {19}}\\2^{19}&=&524288&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {19}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b351f7009dfcec31c84a16f691269c8c4e1378a)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 37:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {37}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {37}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {37}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {37}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {32}}&{\pmod {37}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {27}}&{\pmod {37}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {17}}&{\pmod {37}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {34}}&{\pmod {37}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {31}}&{\pmod {37}}\\2^{10}&=&1024&\equiv &{\underline {25}}&{\pmod {37}}\\2^{11}&=&2048&\equiv &{\underline {13}}&{\pmod {37}}\\2^{12}&=&4096&\equiv &{\underline {26}}&{\pmod {37}}\\2^{13}&=&8192&\equiv &{\underline {15}}&{\pmod {37}}\\2^{14}&=&16384&\equiv &{\underline {30}}&{\pmod {37}}\\2^{15}&=&32768&\equiv &{\underline {23}}&{\pmod {37}}\\2^{16}&=&65536&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {37}}\\2^{17}&=&131072&\equiv &{\underline {18}}&{\pmod {37}}\\2^{18}&=&262144&\equiv &{\underline {36}}&{\pmod {37}}\\2^{19}&=&524288&\equiv &{\underline {35}}&{\pmod {37}}\\2^{20}&=&1048576&\equiv &{\underline {33}}&{\pmod {37}}\\2^{21}&=&2097152&\equiv &{\underline {29}}&{\pmod {37}}\\2^{22}&=&4194304&\equiv &{\underline {21}}&{\pmod {37}}\\2^{23}&=&8388608&\equiv &{\underline {5}}&{\pmod {37}}\\2^{24}&=&16777216&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {37}}\\2^{25}&=&33554432&\equiv &{\underline {20}}&{\pmod {37}}\\2^{26}&=&67108864&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {37}}\\2^{27}&=&134217728&\equiv &{\underline {6}}&{\pmod {37}}\\2^{28}&=&268435456&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {37}}\\2^{29}&=&536870912&\equiv &{\underline {24}}&{\pmod {37}}\\2^{30}&=&1073741824&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {37}}\\2^{31}&=&2147483648&\equiv &{\underline {22}}&{\pmod {37}}\\2^{32}&=&4294967296&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {37}}\\2^{33}&=&8589934592&\equiv &{\underline {14}}&{\pmod {37}}\\2^{34}&=&17179869184&\equiv &{\underline {28}}&{\pmod {37}}\\2^{35}&=&34359738368&\equiv &{\underline {19}}&{\pmod {37}}\\2^{36}&=&68719476736&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {37}}\\2^{37}&=&137438953472&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {37}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da704028c679e27170936b6ceaded92d77ebca7)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 7: Teilbarkeit durch 73:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {73}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {73}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {73}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {73}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {32}}&{\pmod {73}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {64}}&{\pmod {73}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {55}}&{\pmod {73}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {37}}&{\pmod {73}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {73}}\\2^{10}&=&1024&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {73}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66baaf7d01acb0065d07794f435225e2cce70abb)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 8: Zusammenfassung:
- In den vergangenen sieben Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo
abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass
ein Teiler von
genau dann ist, wenn
gilt, also wenn
mit
ist.
- Zusammenfassend gilt also:
ist, abhängig von
, unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}n\equiv 0{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 1{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 2{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 3{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}73{\text{ teilbar}}\\n\equiv 4{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 5{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 6{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 7{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 8{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 9{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 10{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 11{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 12{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}73{\text{ teilbar}}\\n\equiv 13{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 14{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 15{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 16{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 17{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 18{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 19{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 20{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 21{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}73{\text{ teilbar}}\\n\equiv 22{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 23{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 24{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 25{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 26{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 27{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 28{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 29{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 30{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}73{\text{ teilbar}}\\n\equiv 31{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 32{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 33{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 34{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 35{\pmod {36}}&\Longrightarrow &78557\cdot 2^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db3ddc688a72a738db8504b67756f2d9ec43d60)
- Damit werden alle möglichen
abgedeckt. Somit ist
immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge
liegt. Weil
für alle
ist, ist
für alle
immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- Die folgenden Zahlen sind bekannte Sierpiński-Zahlen
:
- 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, … (Folge A076336 in OEIS)
- Ist
eine dieser Zahlen, so ist
für alle
zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.
Die Zahl
ist keine Sierpiński-Zahl, da in der Folge
wenigstens eine Primzahl auftritt: 39, 77, 153, 305, 609, 1217, 2433, … Das sechste Glied der Folge, 1217, ist eine Primzahl. Das genügt zum Nachweis, dass 19 keine Sierpiński-Zahl ist. Ob noch weitere Primzahlen in dieser Folge auftreten oder nicht (das zehnte Glied 19457 ist prim), ist unerheblich.
Primzahlen der Form
nennt man Prothsche Primzahl.
Das Sierpiński-Problem lautet: Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl?
1962 hat John L. Selfridge gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist.[1] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Das Internet-Projekt Seventeen or Bust beschäftigt sich mit diesem Problem.
Um den Beweis durchzuführen, muss für jedes
kleiner als 78557 eine Zahl
gefunden werden, so dass die resultierende Proth-Zahl
eine Primzahl ist. Dieser Beweis ist (Stand 8. Juli 2019) bereits für alle
bis auf 5 Ausnahmen erfolgt, diese sind (Primzahlen werden fett geschrieben):
- 21181, 22699, 24737, 55459 und 67607[1][2][3]
Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl
ist eine zusammengesetzte Zahl.
Das prime Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob
die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.[4] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 9 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen der folgenden Liste schon in obigem Problem auftauchen; die übrigen drei Zahlen der vorhergehenden Liste sind keine Primzahlen:
,
und
) (Stand: 31. Dezember 2019):
- k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019
Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob
tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.[4][5] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 9 oben genannten Primzahlen (vom primen Sierpiński-Problem) noch zusätzlich die folgenden 11 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei zusammengesetzten Zahlen schon im ursprünglichen Sierpiński-Problem auftauchen) (Stand: 7. März 2022):
- k = 21181, 24737, 55459, 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411
Eine Riesel-Zahl (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Hans Riesel) ist eine natürliche, ungerade Zahl
, für die die unendliche Zahlenfolge
mit
keine Primzahlen enthält.
ist eine Riesel-Zahl.
Beweis der Behauptung, dass 509203 eine Riesel-Zahl ist:
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.
Zu zeigen ist, dass
für alle natürlichen Zahlen
immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge
gibt, welche
teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 509203).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 3:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
ist.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {3}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {3}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {3}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {3}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bb22548f35e9168140d99bd9be8644f8ca0fa3)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
gerade ist, also wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {5}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}{\pmod {5}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {3}}{\pmod {5}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {5}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {5}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf64ce7891f599d50ad81261c8889451a24fd9b)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {7}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}{\pmod {7}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {7}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {7}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27850a8e6af45073ade3dfe45e273bcb049cf55)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {13}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {13}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {13}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {13}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {6}}&{\pmod {13}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {13}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {13}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {13}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {5}}&{\pmod {13}}\\2^{10}&=&1024&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {13}}\\2^{11}&=&2048&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {13}}\\2^{12}&=&4096&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {13}}\\2^{13}&=&8192&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {13}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31d865309b750850c75e0a5aa6a94ba166a564d)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 17:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {17}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {17}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {17}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {17}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {15}}&{\pmod {17}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {13}}&{\pmod {17}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {17}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {17}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {17}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3383383c7e87b2c239f1f86d39aca5fce17f6d3)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 241:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{1}&=&2&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {241}}\\2^{2}&=&4&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {241}}\\2^{3}&=&8&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {241}}\\2^{4}&=&16&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {241}}\\2^{5}&=&32&\equiv &{\underline {32}}&{\pmod {241}}\\2^{6}&=&64&\equiv &{\underline {64}}&{\pmod {241}}\\2^{7}&=&128&\equiv &{\underline {128}}&{\pmod {241}}\\2^{8}&=&256&\equiv &{\underline {15}}&{\pmod {241}}\\2^{9}&=&512&\equiv &{\underline {30}}&{\pmod {241}}\\2^{10}&=&1024&\equiv &{\underline {60}}&{\pmod {241}}\\2^{11}&=&2048&\equiv &{\underline {120}}&{\pmod {241}}\\2^{12}&=&4096&\equiv &{\underline {240}}&{\pmod {241}}\\2^{13}&=&8192&\equiv &{\underline {239}}&{\pmod {241}}\\2^{14}&=&16384&\equiv &{\underline {237}}&{\pmod {241}}\\2^{15}&=&32768&\equiv &{\underline {233}}&{\pmod {241}}\\2^{16}&=&65536&\equiv &{\underline {225}}&{\pmod {241}}\\2^{17}&=&131072&\equiv &{\underline {209}}&{\pmod {241}}\\2^{18}&=&262144&\equiv &{\underline {177}}&{\pmod {241}}\\2^{19}&=&524288&\equiv &{\underline {113}}&{\pmod {241}}\\2^{20}&=&1048576&\equiv &{\underline {226}}&{\pmod {241}}\\2^{21}&=&2097152&\equiv &{\underline {211}}&{\pmod {241}}\\2^{22}&=&4194304&\equiv &{\underline {181}}&{\pmod {241}}\\2^{23}&=&8388608&\equiv &{\underline {121}}&{\pmod {241}}\\2^{24}&=&16777216&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {241}}\\2^{25}&=&33554432&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {241}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04796d2ed43346fcc5b71f7a29a65a011de4a10e)
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 7: Zusammenfassung:
- In den vergangenen sechs Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo
abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass
ein Teiler von
genau dann ist, wenn
gilt, also wenn
mit
ist.
- Zusammenfassend gilt also:
ist, abhängig von
, unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}n\equiv 0{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 1{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 2{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 3{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}241{\text{ teilbar}}\\n\equiv 4{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 5{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 6{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 7{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 8{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 9{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 10{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 11{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 12{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 13{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 14{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 15{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 16{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 17{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 18{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 19{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 20{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ und }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 21{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 22{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}3{\text{ teilbar}}\\n\equiv 23{\pmod {24}}&\Longrightarrow &509203\cdot 2^{n}-1{\text{ ist durch }}7{\text{ und }}17{\text{ teilbar}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5644fdaf3b251aeee8a0d40699a8d4acba33d3)
- Damit werden alle möglichen
abgedeckt. Somit ist
immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge
liegt. Weil
für alle
ist, ist
für alle
immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- 1956 bewies Hans Riesel, dass es unendlich viele ganze Zahlen
gibt, so dass
nicht prim, also zusammengesetzt ist für alle positiven ganzen Zahlen
.[6]
- Die folgenden Zahlen sind bekannte Riesel-Zahlen
:
- 509203, 762701, 777149, 790841, 992077, … (Folge A101036 in OEIS)
- Ist
eine der oberen Zahlen, so ist
für alle
zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.
Die Zahl
ist keine Riesel-Zahl, da in der Folge
wenigstens eine Primzahl auftritt: 45, 91, 183, 367.
Riesel selbst fand 1956 mit 509.203 eine Riesel-Zahl. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 509.203 die kleinste Riesel-Zahl ist (dieses Problem nennt man Riesel-Problem). Um dies zu beweisen, muss man noch die folgenden 42 Zahlen kontrollieren, ob sie Riesel-Zahlen sind oder nicht[7]:
- 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557 und 494743
Es würde ausreichen, wenn man zu jeder der obigen Zahlen
wenigstens ein einziges
finden würde, sodass
eine Primzahl ist. Dann würde diese Zahl k als Kandidat für die kleinste Riesel-Zahl ausscheiden.
Durch Eric Brier wurde nach positiven ganzen Zahlen k gesucht, die gleichzeitig Sierpiński- und Riesel-Zahl sind, d. h.
und ![{\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8846578230e948d4112047ff65b2db7f3c4da3)
sind für alle n stets zusammengesetzt. Derartige Zahlen heißen Brier-Zahlen.
Die erste 1998 gefundene Brier-Zahl ist die 41-stellige
- k = 29364695660123543278115025405114452910889
Yves Gallot ermittelte 2000 eine 27-stellige Brier-Zahl
- k = 878503122374924101526292469
2007 fanden Michael Filaseta, Carrie Finch und Mark Kozek die damals kleinste bekannte 24-stellige Brier-Zahl
- k = 143665583045350793098657
Mittlerweile kennt man noch kleinere, aber immer noch mindestens 22-stellige Brier-Zahlen:
- 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, … (Folge A076335 in OEIS)
Bisher musste das
bei
immer eine positive ganze Zahl sein, also
. Was passiert aber, wenn man die Hochzahl negativ werden lässt? Sei also
mit
. Dann erhält man
. Nimmt man nur den Zähler dieser Bruchzahl, so erhält man die Zahl
.
Eine duale Sierpiński-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl
, für die
für alle natürlichen Zahlen
zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt bzw. gab zwei Vermutungen, diese dualen Sierpiński-Zahlen betreffend:
- Vermutung 1: Die Menge dieser dualen Sierpiński-Zahlen
ist ident zur Menge der Sierpiński-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Sierpiński-Problem.
- Vermutung 2: Die Zahl
ist die kleinste duale Sierpiński-Zahl. Diese zweite Vermutung konnte schon bewiesen werden. Das bedeutet, dass
für alle natürlichen Zahlen
zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte
aber auch die kleinste Sierpiński-Zahl sein (siehe Sierpiński-Problem).
Es gibt also kein
, welches kleiner als
ist, für welches
niemals eine Primzahl ergibt. Dieser Beweis gelang wie schon beim noch laufenden Internet-Projekt Seventeen or Bust durch die Brute-Force-Methode, indem man für jedes
so lange ein geeignetes
sucht, bis man eines gefunden hat, für welches
eine Primzahl ergibt. Dieses Internet-Projekt mit dem Namen Five or Bust[8] hat somit seinen Zweck erfüllt und aus einer Vermutung eine Gewissheit gemacht (der Name kommt von fünf verschiedenen
, die damals noch zu keiner bekannten Primzahl geführt haben). Jedenfalls brachte auch dieser Beweis einige sehr große Primzahlen zu Tage. Die fünf
, von denen man vor dem Projekt keine Primzahlen gekannt hat, lauteten:
- k=2131, 28433, 40291, 41693 und 75353
Es wurde mittlerweile zu jedem dieser
eine passende Zahl
gefunden, sodass
höchstwahrscheinlich eine Primzahl ist. Genau genommen handelt es sich bei den so gefundenen Zahlen der Form
nur um PRP-Zahlen (sogenannte probable primes), also Zahlen, die höchstwahrscheinlich, aber eben nicht hundertprozentig, Primzahlen sind. Dies hängt damit zusammen, dass man für Zahlen der Form
noch keine geeigneten Algorithmen kennt, die explizit garantieren könnten, dass es sich um Primzahlen handelt. Trotzdem ist man sich sehr sicher, dass es sich um Primzahlen handelt. In der Folge wird also, um genau zu sein, nicht von Primzahlen, sondern von PRP-Zahlen die Rede sein.
Bei
erhält man erst bei
eine PRP-Zahl[9], das heißt, dass
die kleinste PRP-Zahl ist, die in der Folge
vorkommt. Weitere hohe PRP-Zahlen erhält man für
und
, nämlich
bzw.
(somit sind
und
PRP-Zahlen[9]). Gleichzeitig erhält man aber für diese drei
sehr schnell Primzahlen der Form
, nämlich
,
und
. Für das eigentliche Sierpiński-Problem machen diese drei
also keinerlei Schwierigkeiten. Umgekehrt kennt man zum Beispiel für
noch kein geeignetes
, sodass
eine Primzahl ergibt (es ist eines der fünf übrig gebliebenen Problemfälle beim Projekt Seventeen or Bust). Beim dualen Sierpiński-Problem macht dieses
aber kein Problem, denn schon für
erhält man die Primzahl
.
In einer Tabelle zusammengefasst erkennt man die jeweils sechs größten Primzahlen beim Sierpiński-Problem und beim dualen Sierpiński-Problem bis zu
:
Sierpiński-Problem
|
duales Sierpiński-Problem
|
k
|
n
|
Stellen von k·2n+1
|
n
|
Stellen von 2n+k
|
2.131
|
44
|
17
|
4583176
|
1379674
|
8.543
|
5793
|
1748
|
1191375
|
358640
|
10.223
|
31172165
|
9383761
|
19
|
6
|
21.181
|
unbekannt, sehr groß
|
28
|
9
|
22.699
|
unbekannt, sehr groß
|
26
|
8
|
24.737
|
unbekannt, sehr groß
|
17
|
6
|
28.433
|
7830457
|
2357207
|
2249255
|
677094
|
40.291
|
8
|
8
|
9092392
|
2737083
|
41.693
|
33
|
15
|
5146295
|
1549190
|
55.459
|
unbekannt, sehr groß
|
14
|
5
|
67.607
|
unbekannt, sehr groß
|
46549
|
14013
|
75.353
|
1
|
6
|
1518191
|
457022
|
Die kleinsten
, für die
erstmals eine Primzahl ergibt (wobei
ungerade ist) verrät die folgende Liste:
- 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 7, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 7, 4, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 10, 3, 3, 2, 1, 1, … (Folge A067760 in OEIS)
Wie man erkennen kann, sind die Hochzahlen
, die zu einem gegebenen
erstmals eine auf eine Primzahl führen, meistens sehr klein. In den meisten Fällen ist tatsächlich
. Es existieren lediglich einige wenige Fälle, bei denen man zu einem gegebenen
ein sehr hohes
benötigt, um erstmals eine Primzahl zu finden. Die folgende Liste gibt alle 28 existierenden
bis inklusive 78557 an, die ein dementsprechend hohes
benötigen, damit
eine Primzahl ergibt (oder, wie im Fall
, keine Primzahl existiert) und für welches auch
gilt. (eine umgekehrte Argumentation lautet: zu folgenden ungeraden
ist die Zahl
für alle
immer zusammengesetzt):
773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 28433, 35461, 37967, 39079, 40291, 41693, 48527, 60443, 60451, 60947, 64133, 75353, 78557 (Folge A033919 in OEIS)
Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem, bei dem
eine natürliche, ungerade Zahl sein muss, ist beim geraden Sierpiński-Problem das
eine natürliche gerade Zahl. Wieder stellt sich die Frage, ob es bis
kein gerades
gibt, welches eine Sierpiński-Zahl ist[10].
Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem kann man diesmal gleich von vornherein viele gerade
ausschließen. Wenn man zum Beispiel wegen der Untersuchung der
vom Sierpiński-Problem weiß, dass
eine Primzahl ist, kann man daraus sofort folgern, dass
auch eine Primzahl ist und man kann somit
sofort aus der Liste der potentiellen geraden Sierpiński-Zahlen streichen. Ebenso ist
und
eine Primzahl und somit scheidet auch
und
sofort als gerader Sierpiński-Kandidat aus, ohne dass man eine besondere Rechnung angestellt haben muss.
Es gibt aber auch gerade
, bei denen man mit der sonst üblichen Brute-Force-Methode arbeiten muss. Zum Beispiel stößt man bei der Lösung des ursprünglichen Sierpiński-Problems auf die Primzahl
. In diesem Fall kann man aber leider keine 2 herausheben, sodass man über
eine Aussage treffen könnte. Somit muss man für dieses
mit roher Rechengewalt eine Primzahl finden. Hat man aber eine gefunden, in diesem Fall
, so kann man wieder weitere
ausschließen. In diesem Fall
und
.
Momentan gibt es für das gerade Sierpiński-Problem 4 Zahlen, für die man noch nicht ausschließen kann, dass sie Sierpiński-Zahlen sind:
- 42362, 45398, 49474, 65536
Drei dieser vier Zahlen sind eng verwandt mit den 5 Problemfällen vom ursprünglichen Sierpiński-Problem (21181, 22699, 24737, 55459 und 67607). Wenn man zum Beispiel für
irgendwann einmal eine Primzahl der Form
finden wird (mit einem sehr hohen
), kann man sofort daraus schließen, dass
ebenfalls eine Primzahl ist und schon hätte das gerade Sierpiński-Problem nur noch 3 Problemfälle. Analog kann man aus einer noch zu findenden Primzahl der Form
sofort folgern, dass auch
eine Primzahl ist (nämlich die gleiche). Weiters wäre die noch unentdeckte Primzahl der Form
eine Lösung, die aus der Liste der obigen 4 Zahlen nur noch einen einzigen Problemfall übrig lassen würden:
.
Es stellt sich die Frage, ob
jemals eine Primzahl werden kann. Es ist
und somit hätte diese gesuchte Primzahl die Form
mit
. Primzahlen der Form
sind aber Fermatsche Primzahlen, also nur prim, wenn
eine Zweierpotenz ist und somit die Form
haben. Von diesen sind momentan nur fünf bekannt, nämlich
,
,
,
und
. Pierre de Fermat vermutete zwar, dass es unendlich viele solche Fermatschen Primzahlen gibt, mittlerweile wird aber vermutet, dass es nur diese fünf Primzahlen von dieser Form gibt. Wenn es wirklich noch weitere Fermatsche Primzahlen gibt, so muss diese Zahl mindestens
sein und somit mindestens 2.585.827.973 Stellen haben (diese Fermat-Zahl
ist tatsächlich die kleinste Zahl der Form
, die eine Primzahl sein könnte, von der man es aber noch nicht weiß). Die größte bekannte Primzahl hat im Moment aber lediglich 24.862.048 Stellen (eine Mersenne-Primzahl, Stand: 26. Juli 2020), welches gerade einmal 0,96 % der Stellen sind, die
besitzt. Man ist also noch meilenweit von der Primzahlbestimmung von so riesigen Zahlen entfernt. Für das gerade Sierpiński-Problem bedeutet das aber, dass man für die Zahl
in absehbarer Zeit keine Primzahl finden wird. Möglicherweise gibt es auch tatsächlich keine Primzahl für dieses
. Dies würde aber bedeuten, dass
die erste gerade (und insgesamt auch kleinste) Sierpiński-Zahl wäre.
Bisher musste das
bei
immer eine positive ganze Zahl sein, also
. Was passiert aber, wenn man wie schon bei den Sierpiński-Zahlen die Hochzahl negativ werden lässt? Sei also
mit
. Dann erhält man
. Nimmt man nur den Betrag des Zählers dieser Bruchzahl, so erhält man die Zahl
.
Eine duale Riesel-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl
, für die
für alle natürlichen Zahlen
zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt zwei Vermutungen, diese dualen Riesel-Zahlen betreffend:
- Vermutung 1: Die Menge dieser dualen Riesel-Zahlen
ist ident zur Menge der Riesel-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Riesel-Problem.
- Vermutung 2: Die Zahl
ist die kleinste duale Riesel-Zahl. Diese zweite Vermutung resultiert allerdings aus der obigen Vermutung 1. Das bedeutet, dass
für alle natürlichen Zahlen
zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte
aber auch die kleinste Riesel-Zahl sein (siehe Riesel-Problem).
Die Bedingung
verrät, dass man das Problem auf zweierlei Arten angehen kann. Man stößt bei der Suche nach Primzahlen der Form
auch auf negative Zahlen, wenn
ist. Dieser Sachverhalt kann erlaubt sein, muss aber nicht erlaubt sein. Deswegen spaltet sich das duale Riesel-Problem in zwei Fälle auf.
Dann stößt man bei der Suche nach Primzahlen der Form
auch auf negative Zahlen, deren Beträge Primzahlen sind. In diesem Fall ist dann
.
Unter diesen Voraussetzungen gibt es noch viele
, für welche man noch kein geeignetes
kennt, sodass
eine Primzahl ergibt. Die kleinste davon ist
.
Ungerade natürliche Zahlen
mit
, für welche
immer zusammengesetzte Zahlen ergeben (also niemals Primzahlen sind), nennt man de Polignac-Zahlen (eine dazu äquivalente Definition lautet: eine de Polignac-Zahl
ist eine ungerade Zahl, die nicht die Form
mit
hat[11]). Die ersten paar solcher Zahlen verrät die folgende Liste:
- 1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, … (Folge A006285 in OEIS)
Dann darf man bei der Suche nach Primzahlen der Form
nicht auf negative Zahlen stoßen. In diesem Fall ist dann
.
Die kleinsten
, für die
erstmals eine Primzahl ergibt, verrät die folgende Liste (aufsteigend für ungerade k=1, 3, 5, 7, 9,…):
- 2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, … (Folge A096502 in OEIS)
Die ersten
, für welche man noch kein geeignetes
kennt, sodass
eine Primzahl ergibt, lauten:
- 1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, 107857, 109649, 118567, 128263, 132217, 134557, 134579, 138847, 144337, 148091, 149797, 150179, 150641, 158369, 170531, 175709, 183313, 191759, …
Beim geraden Riesel-Problem muss
eine gerade natürliche Zahl sein. Es stellt sich die Frage, ob es ein gerades
gibt, welches eine Riesel-Zahl ist (für das also alle Zahlen der Form
immer zusammengesetzte Zahlen, also niemals Primzahlen, sind)[12].
Wie schon beim geraden Sierpiński-Problem kann man gleich von vornherein viele gerade
ausschließen. Zum Beispiel weiß man wegen der Untersuchung der
vom Riesel-Problem, dass
eine Primzahl ist und somit
als Riesel-Zahl nicht in Frage kommt. Aus dieser Tatsache kann man aber sofort folgern, dass auch
und
und
und so fort, Primzahlen sind, die somit für das gerade Riesel-Problem als potentielle gerade Riesel-Zahlen ausfallen. Wegen dieses einen erfolgreich ausgeschlossenen
kann man also sofort, ohne längere Rechnung, elf Werte für
, nämlich k=238, 476, 952, 1904, 3808, 7616, 15232, 30464, 60928, 121856 und 243712 ausschließen. Erst bei
kann man keine 2 mehr herausheben, da man sonst
erhalten würde, wobei aber 0 als Hochzahl weder beim Sierpiński- noch beim Riesel-Problem erlaubt ist. Der Wert
kann erst durch die Primzahl
als gerade Riesel-Zahl ausgeschlossen werden. Diesmal wieder durch die Brute-Force-Methode, also durch Ausnützung der rohen Rechengewalt eines Computers, der alle möglichen Werte so lange durchprobiert, bis er eine Primzahl gefunden hat. Auch aus ungeraden
, die zu sehr niedrigen Primzahlen geführt haben, wie zum Beispiel
kann man keine weiteren geraden
herausrechnen. Somit muss man auch für Vielfache von 69, also zuallererst für
eine geeignete Primzahl finden. Ist diese gefunden, in diesem Fall
, so kann man wieder höhere
ausschließen. In diesem Fall
und
. Dann ist man wieder bei
angelangt und muss für
wieder eine neue Berechnung mit der Brute-Force-Methode beginnen.
In der Praxis sind aber die Computer heutzutage so schnell, dass man sich obige Überlegungen ersparen kann. Binnen weniger Stunden ist es möglich, mit einem geeigneten Mathematik-Programm alle
als potentielle gerade Riesel-Kandidaten auszuschließen, die eine Hochzahl
zwischen
und
haben. Der untersten Tabelle kann man entnehmen, dass damit schon 254233
wegfallen, also keine geraden Riesel-Zahlen sein können. Erst ab Hochzahlen
benötigt man, je nach Rechenleistung, ein paar Tage bis Jahre.
Der unteren Tabelle kann man entnehmen, dass mit höheren Hochzahlen
schon die meisten
ausgeschlossen werden konnten. Insgesamt bleiben 38 verschiedene
übrig, für die noch kein
gefunden werden konnte, sodass
eine Primzahl ist. 36 dieser 38 Zahlen sind die folgenden (Stand: 2. Mai 2021):
- 47338, 63718, 76946, 93326, 94676, 127436, 134234, 149398, 153892, 162082, 186652, 187678, 189352, 194278, 214694, 243778, 254872, 258014, 268468, 286094, 298796, 307784, 323338, 324164, 373304, 375356, 378704, 388556, 412462, 429388, 430886, 452306, 468686, 487556, 491122, 500054
Für diese
wird man erst dann geeignete
finden, wenn man für das ursprüngliche Riesel-Problem für gewisse im Moment noch problematische
geeignete
gefunden hat. Zum Beispiel kennt man für
noch kein
, sodass
eine Primzahl ergibt. Deswegen ist
auch in der Liste der noch zu erledigenden
im Abschnitt Riesel-Zahl enthalten. Hat man aber irgendwann einmal ein geeignetes
gefunden, für welches
prim ist, dann wird dieses
sehr groß sein. Dann ist aber auch
eine Primzahl (nämlich dieselbe) und man kann aus der obigen Liste sofort, ohne eine besondere Rechnung angestellt zu haben,
eliminieren. Ebenso kann man mit derselben Argumentation auch sofort die Werte k=94676, 189352 und 378704 eliminieren. Insgesamt wären sofort 4 Werte aus obiger Liste zu entfernen, wenn man irgendwann für
eine geeignete Primzahl findet. Ebenso kann man für alle oben genannten 36 Werte Primzahlen finden. Man muss nur beim ursprünglichen Riesel-Problem die problematischen
eliminieren, also geeignete Primzahlen der Form
finden.
Übrig bleiben nur noch 2 Werte für
, die man separat untersuchen muss. Diese lauten (Stand: 15. April 2021):[13]
- 351134, 478214
Für diese
sind noch keine Primzahlen der Form
bekannt. Wenn man zum Beispiel
betrachtet, kann man feststellen, dass man eine Primzahl der Form
benötigt. Beim ursprünglichen Riesel-Problem macht
auch tatsächlich kein Problem, zumal
eine Primzahl ergibt. Nur leider kann man bei dieser Primzahl nicht
herausheben, denn dann würde man
erhalten. Für das Riesel-Problem ist eine Hochzahl 0 aber nicht erlaubt. Somit muss man eine größere Primzahl für
suchen, damit man auch für
eine geeignete findet. Und so eine größere Primzahl ist eben im Moment noch nicht bekannt, obwohl man schon bis
gesucht hat.[14] Analog verhält es sich mit dem anderen Wert
. In diesem Fall ist
die momentan einzige bekannte Primzahl, wobei aber
nicht erlaubt ist. In diesem Fall hat man ebenfalls schon bis
ergebnislos gesucht.[14]
Das gerade Riesel-Problem ist also noch längst nicht gelöst. Es könnte durchaus sein, dass man ein gerades
finden wird, für welches
niemals eine Primzahl ist. Dann hätte man eine gerade Riesel-Zahl gefunden, die kleiner als 509203 ist. Es wird aber davon ausgegangen, dass es keine solche Zahl gibt.
Für die meisten
findet man sehr schnell geeignete
, sodass
bzw.
eine Primzahl ergibt. Um zu erkennen, wie schnell man eine Zahl
zu einem gegebenen
findet, sodass man erstmals eine Primzahl der jeweiligen Form erhält, definiert man
als die Anzahl der
, für welche der Exponent
im Intervall
liegt. Die folgende Tabelle zeigt, wie schnell man die
ausschließen kann. In der Tabelle werden folgende Variablen verwendet:
… kleinste Hochzahl, bei der man erstmals eine Primzahl der gegebenen Form erhält
… maximale Anzahl der Stellen von
… Anzahl der
, für welche man im Intervall
erstmals eine Primzahl findet
|
|
|
|
|
Sierpiński- Problem[4]
|
primes Sierpiński- Problem[4]
|
erweitertes Sierpiński- Problem[4]
|
gerades Sierpiński- Problem[15]
|
duales Sierpiński- Problem
|
Riesel- Problem[7]
|
gerades Riesel- Problem
|
duales Riesel- Problem 2n<k
|
duales Riesel- Problem 2n>k
|
m
|
n
|
x
|
fm
|
fm’
|
fm’’
|
fm
|
fm
|
fm
|
fm
|
fm
|
fm
|
0
|
1
|
1
|
7238
|
1667
|
13491
|
7205
|
7707
|
39867
|
39980
|
42226
|
0
|
1
|
2 ≤ n ≤ 3
|
1
|
10194
|
2804
|
19709
|
10166
|
11622
|
59460
|
59474
|
66788
|
3
|
2
|
4 ≤ n ≤ 7
|
3
|
9582
|
3635
|
19803
|
9703
|
11091
|
62311
|
62112
|
71954
|
42
|
3
|
8 ≤ n ≤ 15
|
5
|
6272
|
3242
|
13909
|
6204
|
6161
|
45177
|
44869
|
48639
|
6220
|
4
|
16 ≤ n ≤ 31
|
10
|
3045
|
2140
|
7193
|
3052
|
1764
|
24478
|
24477
|
17286
|
199858
|
5
|
32 ≤ n ≤ 63
|
19
|
1445
|
1145
|
3197
|
1437
|
463
|
11668
|
11997
|
4031
|
33537
|
6
|
64 ≤ n ≤ 127
|
39
|
685
|
605
|
1451
|
629
|
202
|
5360
|
5459
|
1558
|
8166
|
7
|
128 ≤ n ≤ 255
|
77
|
331
|
322
|
656
|
351
|
92
|
2728
|
2671
|
785
|
3205
|
8
|
256 ≤ n ≤ 511
|
154
|
195
|
159
|
364
|
227
|
57
|
1337
|
1277
|
447
|
1449
|
9
|
512 ≤ n ≤ 1023
|
308
|
114
|
106
|
162
|
122
|
26
|
785
|
830
|
247
|
735
|
10
|
1024 ≤ n ≤ 2047
|
617
|
47
|
59
|
99
|
55
|
28
|
467
|
488
|
181
|
465
|
11
|
2048 ≤ n ≤ 4095
|
1233
|
34
|
45
|
67
|
38
|
18
|
289
|
275
|
131
|
278
|
12
|
4096 ≤ n ≤ 8191
|
2466
|
26
|
23
|
42
|
30
|
11
|
191
|
184
|
72
|
169
|
13
|
8192 ≤ n ≤ 16383
|
4932
|
11
|
17
|
30
|
7
|
4
|
125
|
140
|
45
|
108
|
14
|
16384 ≤ n ≤ 32767
|
9864
|
18
|
12
|
23
|
10
|
8
|
87
|
91
|
43
|
83
|
15
|
32768 ≤ n ≤ 65535
|
19729
|
12
|
5
|
14
|
18
|
6
|
62
|
59
|
31
|
56
|
16
|
65536 ≤ n ≤ 131071
|
39457
|
5
|
12
|
9
|
4
|
5
|
38
|
36
|
31
|
55
|
17
|
131072 ≤ n ≤ 262143
|
78913
|
5
|
5
|
3
|
1
|
3
|
35
|
45
|
≤106
|
≤172
|
18
|
262144 ≤ n ≤ 524287
|
157827
|
2
|
5
|
8
|
1
|
2
|
25
|
27
|
≤106
|
≤172
|
19
|
524288 ≤ n ≤ 1048575
|
315653
|
3
|
6
|
6
|
0
|
2
|
22
|
29
|
≤106
|
≤172
|
20
|
1048576 ≤ n ≤ 2097151
|
631306
|
2
|
3
|
3
|
0
|
2
|
18
|
9
|
≤106
|
≤172
|
21
|
2097152 ≤ n ≤ 4194303
|
1262612
|
1
|
1
|
5
|
4
|
1
|
13
|
14
|
≤106
|
≤172
|
22
|
4194304 ≤ n ≤ 8388607
|
2525223
|
3
|
2
|
1
|
5
|
2
|
8
|
5
|
≤106
|
≤172
|
23
|
8388608 ≤ n ≤ 16777215
|
5050445
|
2
|
1
|
2≤fm’’≤11
|
3
|
1
|
6≤fm≤50
|
15≤fm≤53
|
≤106
|
≤172
|
24
|
16777216 ≤ n ≤ 33554431
|
10100891
|
1≤fm≤6
|
1≤fm’≤8
|
≤9
|
2≤fm≤6
|
0
|
≤44
|
≤38
|
≤106
|
≤172
|
>24
|
33554432 ≤ n
|
>10100891
|
≤5
|
≤7
|
≤9
|
≤4
|
0
|
≤44
|
≤38
|
≤106
|
≤172
|
Summe:
|
39278
|
16029
|
80256
|
39278
|
39278
|
254601
|
254601
|
254601
|
254601
|
Eine Sierpiński-Zahl zur Basis b ist eine natürliche Zahl
, sodass
für alle
eine zusammengesetzte Zahl ergibt. Es darf also niemals eine Primzahl herauskommen.
Für
erhält man die klassischen Sierpiński-Zahlen, die weiter oben vorgestellt wurden.
Allerdings ist die Situation nicht mehr ganz so einfach wie bei den klassischen Sierpiński-Zahlen. Denn wenn man zum Beispiel
wählt, kann man recht schnell erkennen, dass jedes ungerade
eine Sierpiński-Zahl zur Basis 3 wäre, weil jede Zahl der Form
gerade und somit immer durch 2 teilbar ist und folglich niemals eine Primzahl ergibt (jede Potenz von 3 ist wieder ungerade, multipliziert mit einer ungeraden Zahl bleibt sie ungerade, und wegen +1 wird sie gerade).
Um diese trivialen Fälle für potentiell interessante Sierpiński-Zahlen zur Basis b auszuschließen, muss man somit noch gewisse Vorkehrungen treffen, damit nur wirklich interessante, nichttriviale
als Sierpiński-Zahlen zur Basis b in Frage kommen.
Die zusätzliche Bedingung für nichttriviale Sierpiński-Zahlen
zur Basis b, sodass nicht eine einzelne Primzahl
alle Zahlen der Form
teilt, ist die folgende:
Es muss also der größte gemeinsamer Teiler von
und
gleich
sein.
Beweis der folgenden Behauptung:
teilt
für alle
ist ein Teiler von ![{\displaystyle \operatorname {ggT} (k+1,b-1)\not =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ad48d64cb7976c7a9ccca08bbcf94dbf09c0e2)
Der Beweis[16] funktioniert direkt.
- Zuerst wird gezeigt, dass wenn eine Primzahl
jedes
für alle
teilt, gelten muss:
teilt
und somit ist
.
- Angenommen, eine Primzahl
teilt
für alle
. Dann teilt
auch
und
. Wenn
aber sowohl
als auch
teilt, dann teilt
auch die Differenz dieser beider Terme, nämlich
. Somit muss
auch
oder
teilen. Da
schon
teilt, kann
nicht gleichzeitig
teilen, also ist
ein Teiler von
. Weil somit also
ein Teiler von
und
sein muss, teilt
auch den
. Also ist
.
- Umgekehrt wird nun gezeigt, dass wenn
ein Teiler von
ist, daraus gefolgert werden kann, dass
auch ein Teiler von
für alle
sein muss.
- Sei also
ein Teiler von
. Dann kann man mit den Rechenregeln der Kongruenz zeigen, dass gilt:
und
und somit gilt:
![{\displaystyle k\cdot b^{n}+1\equiv -1\cdot 1^{n}+1\equiv 0\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e0b3e63bc16296731fc4b77b942c68996b45f6)
- Somit ist
ein Teiler von
.
Insgesamt wurde also gezeigt, dass
die Zahlen
für alle
genau dann teilt, wenn
ein Teiler von
ist. Der Beweis ist vollendet.
Um den trivialen Fall auszuschließen, bei dem lediglich eine einzige (Prim-)Zahl
alle Zahlen der Form
mit
teilt und somit
schon eine gesuchte Sierpiński-Zahl zur Basis b ist, muss zusätzlich die Bedingung
gefordert werden.
Nun kann man natürlich die Basis
beliebig hoch werden lassen. Untersucht werden momentan aber „nur“ Basen bis
.
Es folgt eine Tabelle mit dem momentanen Wissensstand (Stand: 22. April 2024) für Basen bis
:[17][18]
b
|
vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k
|
Problemfälle k, für die man noch keine Primzahlen kennt, die kleiner als die vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k und keine Vielfachen von ebenfalls unbekannten Problemfällen sind; in Klammern sind ausgewählte Problemfälle, die Vielfache von anderen Problemfällen sind
|
größte so gefundene Primzahl
|
2
|
78557
|
21181, 22699, 24737, 55459, 65536, 67607 (insgesamt 6 Problemfälle)
|
10223·231172165+1
|
3
|
125.050.976.086
|
6363484, 8911036, 12663902, 14138648, 14922034, 18302632, 21497746, 23896396, 24019448, 24677704, 33224138, 33381178, 35821276, 37063498, 39431872, 46891088, 47628292, 54503602, 56882284, 60581468,… (diese 20 und noch 393512 weitere, also insgesamt 393532 Problemfälle)
|
125030472038·3945719+1
|
4
|
66741
|
18534, 21181, 22699, 49474, 55459, 64494, 65536 (insgesamt 7 Problemfälle)
|
20446·415586082+1
|
5
|
159986
|
6436, 7528, 10918, 26798, 29914, 31712, 36412, 41738, 44348, 44738, 45748, 51208, 58642, 60394, 62698, 64258, 67612, 67748, 71492, 74632, 76724, 83936, 84284, 90056, 92906, 93484, 105464, 126134, 139196, 152588 (insgesamt 30 Problemfälle)
|
118568·53112069+1
|
6
|
174308
|
1296, 13215, 14505, 50252, 76441, 87800, 97131, 112783, 127688, 166753, 168610 (insgesamt 11 Problemfälle)
|
124125·62018254+1
|
7
|
1.112.646.039.348
|
987144, 1613796, 1911142, 2052426, 2471044, 3778846, 4023946, 4300896, 4369704, 4455408, 4723986, 4783794, 4810884, 5673636, 6551056, 7115518, 7248984, 8186656, 8643682, 9230674,… (diese 20 und noch 19889 weitere bis k ≤ 1.000.000.000, also bis dahin insgesamt 19909 Problemfälle)
|
1952376·7293352+1
|
8
|
1
|
keine Problemfälle mehr
|
keine
|
9
|
2344
|
keine Problemfälle mehr
|
2036·95004596+1
|
10
|
9175
|
100, 7666
|
5028·1083982+1
|
11
|
1490
|
keine Problemfälle mehr
|
958·11300544+1
|
12
|
521
|
12
|
404·12714558+1
|
13
|
132
|
keine Problemfälle mehr
|
48·136267+1
|
14
|
4
|
keine Problemfälle mehr
|
1·142+1
|
15
|
91.218.919.470.156
|
215432, 424074, 685812, 1936420, 2831648, 3100818, 3789018, 5074424, 5095268, 5311880, 5349258, 5382720, 5391260, 5437658, 5624046, 5624350, 5923260, 6022606, 6038592, 6079288, 6113172, 6201428, 6341914, 6438174, 6492284, 6729940, 6741008, 7370892, 7567724, 7759144, 7858272, 7976572, 8029172, 8340272, 8347462, 8371008, 8410850, 8446312, 8495324, 8592272, 8718584, 9051940, 9174358, 9189710, 9307436, 9352744, 9562550, 9564418, 9720238, 10033124,… (diese 50 und noch 10312 weitere bis k ≤ 1.000.000.000, also bis dahin 10362 Problemfälle)
|
3859132·15195563+1
|
16
|
2500
|
keine Problemfälle mehr
|
2158·1610905+1
|
17
|
278
|
244
|
262·17186768+1
|
18
|
398
|
18
|
122·18292318+1
|
19
|
765174
|
1446, 2526, 2716, 3714, 4506, 4614, 6796, 10776, 14556, 15394, 15396, 16246, 17596, 19014, 19906, 20326, 20364, 21696, 24754, 25474, 29746, 29896, 29956, 30196, 36534, 38356, 39126, 39276, 42934, 43986, 44106, 45216, 45846, 46174, 50124, 53014, 55516, 57544, 59214, 61536,… (diese 40 und noch 485 weitere, also insgesamt 525 Problemfälle)
|
256134·19199223+1
|
20
|
8
|
keine Problemfälle mehr
|
6·2015+1
|
21
|
1002
|
keine Problemfälle mehr
|
118·2119849+1
|
22
|
6694
|
22, 5128
|
1611·22738988+1
|
23
|
182
|
keine Problemfälle mehr
|
68·23365239+1
|
24
|
30651
|
656, 1099, 1851, 1864, 2164, 2351, 2586, 3404, 3526, 3609, 4606, 4894, 5129, 5316, 5324, 5386, 5889, 5974, 7276, 7746, 7844, 8054, 8091, 8161, 9279, 9304, 9701, 9721, 10026, 10156, 10531, 11346, 12969, 12991, 13716, 15921, 17334, 17819, 17876, 18006, 18204, 18911, 19031, 19094, 20219, 20731, 21459, 22289, 22356, 22479, 23844, 23874, 24784, 25964, 26279, 27344, 29091, 29349, 29464, 29566, 29601 (insgesamt 61 Problemfälle)
|
13984·24397259+1
|
25
|
262638
|
222, 6436, 7528, 10918, 12864, 13548, 15588, 18576, 29914, 36412, 45330, 45748, 51208, 57240, 58434, 58642, 60394, 62698, 64258, 65610, 66678, 67612, 74632, 75666, 76896, 81186, 82962, 86334, 90240, 91038, 93378, 93484, 94212, 101958, 107472, 108720, 110304, 114516, 114726, 124164, 133990, 134172, 157548, 158560, 162756, 165270, 165504, 166620, 169324, 176916, 177022, 178972, 183028, 184414, 184456, 195016, 195144, 196236, 198840, 199174, 201382, 205906, 206982, 207544, 208690, 211860, 216282, 217140, 221304, 221740, 223690, 226992, 228982, 230998, 231328, 231390, 231906, 243108, 244438, 245010, 258942 (insgesamt 81 Problemfälle)
|
138514·251385961+1
|
26
|
221
|
65, 155
|
32·26318071+1
|
27
|
8
|
keine Problemfälle mehr
|
2·272+1
|
28
|
4554
|
871, 4552
|
3394·28427262+1
|
29
|
4
|
keine Problemfälle mehr
|
2·291+1
|
30
|
867
|
278, 588
|
699·3011837+1
|
Wie man erkennen kann, sind für gewisse Basen
alle Problemfälle gelöst. Das bedeutet, dass die oben genannte Sierpiński-Zahl
tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl zu dieser Basis b ist und dass folglich alle Zahlen der Form
für alle
zusammengesetzte Zahlen sind. Im Folgenden werden die kleinsten Teiler für die schon bewiesenen und die noch vermuteten kleinsten Sierpiński-Zahlen angegeben:[17][18]
b
|
bewiesene kleinste Sierpiński-Zahl k
|
vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k
|
(kleinste) Teiler von
|
2
|
|
78557
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5, 7, 13, 19, 37 oder 73
|
3
|
|
125.050.976.086
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193 oder 757
|
4
|
|
66741
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17 oder 241
|
5
|
|
159986
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 13, 31 oder 601
|
6
|
|
174308
|
hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31, 37 oder 97
|
7
|
|
1.112.646.039.348
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13, 19, 43, 73, 181, 193 oder 1201
|
8
|
1
|
|
|
9
|
2344
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13 oder 73
|
10
|
|
9175
|
hat immer mindestens einen der Teiler 7, 11, 13 oder 37
|
11
|
1490
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37
|
12
|
|
521
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 29
|
13
|
132
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7 oder 17
|
14
|
4
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
|
15
|
|
91.218.919.470.156
|
hat immer mindestens einen der Teiler 13, 17, 113, 211, 241, 1489 oder 3877
|
16
|
2500
|
|
|
17
|
|
278
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 29
|
18
|
|
398
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 19
|
19
|
|
765174
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 127 oder 769
|
20
|
8
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 7
|
21
|
1002
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 11, 13 oder 17
|
22
|
|
6694
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 23 oder 97
|
23
|
182
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 53
|
24
|
|
30651
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 73 oder 79
|
25
|
|
262638
|
hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31 oder 601
|
26
|
|
221
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37
|
27
|
8
|
|
|
28
|
|
4554
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 29 oder 157
|
29
|
4
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
|
30
|
|
867
|
hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 19 oder 31
|
Stellvertretend für alle Sierpiński-Zahlen zur Basis
sei hier noch der umfangreiche und ausführliche Beweis angeführt, dass
eine Sierpiński-Zahl zur Basis
ist:
Beweis der Behauptung, dass
eine Sierpiński-Zahl zur Basis
ist:
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.
Zu zeigen ist, dass
für alle natürlichen Zahlen
immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge
gibt, welche
teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 125.050.976.086).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
ist.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}{\pmod {5}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {4}}{\pmod {5}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {5}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {5}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {3}}{\pmod {5}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfb414e0dd15d54d2abf8d57952fa204d4145f2)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
ist.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}{\pmod {7}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {2}}{\pmod {7}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {6}}{\pmod {7}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {4}}{\pmod {7}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {5}}{\pmod {7}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {1}}{\pmod {7}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {3}}{\pmod {7}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b83c5e29d9088d7b302adbf82986996fcc26d66)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {13}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {13}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {13}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {13}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470438c299640ff1b57b1855821a8028ed5e06fd)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 17:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {17}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {17}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {17}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {13}}&{\pmod {17}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {5}}&{\pmod {17}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {15}}&{\pmod {17}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {17}}\\3^{8}&=&6561&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {17}}\\3^{9}&=&19683&\equiv &{\underline {14}}&{\pmod {17}}\\3^{10}&=&59049&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {17}}\\3^{11}&=&177147&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {17}}\\3^{12}&=&531441&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {17}}\\3^{13}&=&1594323&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {17}}\\3^{14}&=&4782969&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {17}}\\3^{15}&=&14348907&\equiv &{\underline {6}}&{\pmod {17}}\\3^{16}&=&43046721&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {17}}\\3^{17}&=&129140163&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {17}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec9e606e40a15a02519dcbad2b8d1ec18d9b5e1)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 19:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {19}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {19}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {8}}&{\pmod {19}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {5}}&{\pmod {19}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {15}}&{\pmod {19}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {19}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {2}}&{\pmod {19}}\\3^{8}&=&6561&\equiv &{\underline {6}}&{\pmod {19}}\\3^{9}&=&19683&\equiv &{\underline {18}}&{\pmod {19}}\\3^{10}&=&59049&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {19}}\\3^{11}&=&177147&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {19}}\\3^{12}&=&531441&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {19}}\\3^{13}&=&1594323&\equiv &{\underline {14}}&{\pmod {19}}\\3^{14}&=&4782969&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {19}}\\3^{15}&=&14348907&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {19}}\\3^{16}&=&43046721&\equiv &{\underline {17}}&{\pmod {19}}\\3^{17}&=&129140163&\equiv &{\underline {13}}&{\pmod {19}}\\3^{18}&=&387420489&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {19}}\\3^{19}&=&1162261467&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {19}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916aedbefefdfd55c27d7846094878ce0634fd88)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 37:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {37}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {37}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {27}}&{\pmod {37}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {7}}&{\pmod {37}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {21}}&{\pmod {37}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {26}}&{\pmod {37}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {4}}&{\pmod {37}}\\3^{8}&=&6561&\equiv &{\underline {12}}&{\pmod {37}}\\3^{9}&=&19683&\equiv &{\underline {36}}&{\pmod {37}}\\3^{10}&=&59049&\equiv &{\underline {34}}&{\pmod {37}}\\3^{11}&=&177147&\equiv &{\underline {28}}&{\pmod {37}}\\3^{12}&=&531441&\equiv &{\underline {10}}&{\pmod {37}}\\3^{13}&=&1594323&\equiv &{\underline {30}}&{\pmod {37}}\\3^{14}&=&4782969&\equiv &{\underline {16}}&{\pmod {37}}\\3^{15}&=&14348907&\equiv &{\underline {11}}&{\pmod {37}}\\3^{16}&=&43046721&\equiv &{\underline {33}}&{\pmod {37}}\\3^{17}&=&129140163&\equiv &{\underline {25}}&{\pmod {37}}\\3^{18}&=&387420489&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {37}}\\3^{19}&=&1162261467&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {37}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed3701a32a14330f156ab7d41578a7d75e399e0)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 7: Teilbarkeit durch 41:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {41}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {41}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {27}}&{\pmod {41}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {40}}&{\pmod {41}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {38}}&{\pmod {41}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {32}}&{\pmod {41}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {14}}&{\pmod {41}}\\3^{8}&=&6561&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {41}}\\3^{9}&=&19683&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {41}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf17da251da9a61410d3c4c144f1e169a955556)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 8: Teilbarkeit durch 193:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {193}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {193}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {27}}&{\pmod {193}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {81}}&{\pmod {193}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {50}}&{\pmod {193}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {150}}&{\pmod {193}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {64}}&{\pmod {193}}\\3^{8}&=&6561&\equiv &{\underline {192}}&{\pmod {193}}\\3^{9}&=&19683&\equiv &{\underline {190}}&{\pmod {193}}\\3^{10}&=&59049&\equiv &{\underline {184}}&{\pmod {193}}\\3^{11}&=&177147&\equiv &{\underline {166}}&{\pmod {193}}\\3^{12}&=&531441&\equiv &{\underline {112}}&{\pmod {193}}\\3^{13}&=&1594323&\equiv &{\underline {143}}&{\pmod {193}}\\3^{14}&=&4782969&\equiv &{\underline {43}}&{\pmod {193}}\\3^{15}&=&14348907&\equiv &{\underline {129}}&{\pmod {193}}\\3^{16}&=&43046721&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {193}}\\3^{17}&=&129140163&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {193}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b714a75d2660df12dc7c5310d9163b9046e24713)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 9: Teilbarkeit durch 757:
- Es ist
. Somit gilt:
teilt
genau dann, wenn
genau dann, wenn
genau dann, wenn
. Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von
modulo
, nämlich mit
(es ist
), so erhält man
, was gleichwertig ist mit
.
- Es ist also
ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Es gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&=&3&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {757}}\\3^{2}&=&9&\equiv &{\underline {9}}&{\pmod {757}}\\3^{3}&=&27&\equiv &{\underline {27}}&{\pmod {757}}\\3^{4}&=&81&\equiv &{\underline {81}}&{\pmod {757}}\\3^{5}&=&243&\equiv &{\underline {243}}&{\pmod {757}}\\3^{6}&=&729&\equiv &{\underline {729}}&{\pmod {757}}\\3^{7}&=&2187&\equiv &{\underline {673}}&{\pmod {757}}\\3^{8}&=&6561&\equiv &{\underline {505}}&{\pmod {757}}\\3^{9}&=&19683&\equiv &{\underline {1}}&{\pmod {757}}\\3^{10}&=&59049&\equiv &{\underline {3}}&{\pmod {757}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8900d73f7b05a7ebc45a8ea6513e7234f9cfaea)
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo
immer einen Zykel der Länge
der Form
.
- Es ist also
genau dann, wenn
ist.
ist somit ein Teiler von
genau dann, wenn
ist.
- Teil 10: Zusammenfassung:
- In den vergangenen neun Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo
abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass
ein Teiler von
genau dann ist, wenn
gilt, also wenn
mit
ist.
- Zusammenfassend gilt also:
ist, abhängig von
, unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}n\equiv 0{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 1{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 2{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 3{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 4{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 5{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 6{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 7{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 8{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 9{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 10{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 11{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 12{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 13{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 14{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 15{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 16{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 17{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 18{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 19{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 20{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 21{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 22{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 23{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 24{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 25{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 26{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 27{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 28{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 29{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 30{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 31{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 32{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 33{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e4dc914903afe125f53544c8e15f31ad2005e5)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}n\equiv 34{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 35{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 36{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 37{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 38{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 39{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 40{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 41{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 42{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 43{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 44{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 45{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 46{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 47{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 48{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 49{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 50{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 51{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 52{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}17{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 53{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 54{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 55{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 56{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 57{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 58{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 59{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 60{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 61{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 62{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 63{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 64{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 65{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 66{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0bc6a0f66bd489cd86010bec2d5debe9dad7c1)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}n\equiv 67{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 68{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 69{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 70{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 71{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 72{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 73{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 74{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 75{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 76{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 77{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 78{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 79{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 80{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 81{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 82{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 83{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 84{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 85{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 86{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 87{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 88{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 89{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 90{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 91{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 92{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 93{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 94{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 95{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 96{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 97{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 98{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 99{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d803cd0d0b31a581465b4a00e2ecd4fc43d61f69)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}n\equiv 100{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 101{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 102{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 103{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 104{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 105{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 106{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 107{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 108{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 109{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 110{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 111{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 112{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 113{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 114{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 115{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 116{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 117{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 118{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 119{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 120{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 121{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 122{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 123{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 124{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}193{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 125{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 126{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 127{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}19{\text{ teilbar}}\\n\equiv 128{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 129{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 130{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 131{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 132{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}17{\text{ teilbar}}\\n\equiv 133{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 134{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 135{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 136{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}41{\text{ teilbar}}\\n\equiv 137{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\\n\equiv 138{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ teilbar}}\\n\equiv 139{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}37{\text{ teilbar}}\\n\equiv 140{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ und }}193{\text{ teilbar}}\\n\equiv 141{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}7{\text{ teilbar}}\\n\equiv 142{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}5{\text{ und }}757{\text{ teilbar}}\\n\equiv 143{\pmod {144}}&\Longrightarrow &125050976086\cdot 3^{n}+1{\text{ ist durch }}13{\text{ teilbar}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd80f4701497601f05cb7592f0af54a1c8b0011)
- Damit werden alle möglichen
abgedeckt. Somit ist
immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge
liegt. Weil
für alle
ist, ist
für alle
immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es folgt noch eine Liste der vermuteten kleinsten Sierpiński-Zahlen zur Basis
:
- 78557, 125050976086, 66741, 159986, 174308, 1112646039348, 1, 2344, 9175, 1490, 521, 132, 4, 91218919470156, 2500, 278, 398, 765174, 8, 1002, 6694, 182, 30651, 262638, 221, 8, 4554, 4, 867, 6360528, 1, 1854, 6, 214018, 1886, 2604, 14, 166134, 826477, 8, 13372, 2256, 4, 53474, 14992, 8, 1219, 2944, 16,… (Folge A123159 in OEIS)
Eine Riesel-Zahl zur Basis b ist eine natürliche Zahl
, sodass
für alle
eine zusammengesetzte Zahl ergibt. Es darf also niemals eine Primzahl herauskommen.
Für
erhält man die klassischen Riesel-Zahlen, die weiter oben vorgestellt wurden.
Wie schon bei den Sierpiński-Zahlen zur Basis b ist auch die Situation bei Riesel-Zahlen zur Basis b nicht mehr ganz so einfach wie bei den klassischen Riesel-Zahlen. Denn wenn man wie vorher zum Beispiel
wählt, kann man erkennen, dass jedes ungerade
eine Riesel-Zahl zur Basis 3 wäre, weil jede Zahl der Form
gerade und somit immer durch 2 teilbar ist und folglich niemals eine Primzahl ergibt (jede Potenz von 3 ist wieder ungerade, multipliziert mit einer ungeraden Zahl bleibt sie ungerade, und wegen −1 wird sie gerade).
Um diese trivialen Fälle für potentiell interessantere Riesel-Zahlen zur Basis b auszuschließen, muss man somit wieder eine Vorkehrung treffen, damit nur wirklich interessante, nichttriviale
als Riesel-Zahlen zur Basis b in Frage kommen.
Die zusätzliche Bedingung für nichttriviale Riesel-Zahlen
zur Basis b, sodass nicht eine einzelne Primzahl
alle Zahlen der Form
teilt, ist die folgende:
Es muss also der größte gemeinsamer Teiler von
und
gleich
sein.
Beweis der folgenden Behauptung:
teilt
für alle
ist ein Teiler von ![{\displaystyle \operatorname {ggT} (k-1,b-1)\not =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01072bdd9fe5d1554481a131a65bc3a70daaf50)
Der Beweis funktioniert analog zum Beweis der Bedingung für Sierpiński-Zahlen zur Basis b direkt.
- Zuerst wird gezeigt, dass wenn eine Primzahl
jedes
für alle
teilt, gelten muss:
teilt
und somit ist
.
- Angenommen, eine Primzahl
teilt
für alle
. Dann teilt
auch
und
. Wenn
aber sowohl
als auch
teilt, dann teilt
auch die Differenz dieser beider Terme, nämlich
. Somit muss
auch
oder
teilen. Da
schon
teilt, kann
nicht gleichzeitig
teilen, also ist
ein Teiler von
. Weil somit also
ein Teiler von
und
sein muss, teilt
auch den
. Also ist
.
- Umgekehrt wird nun gezeigt, dass wenn
ein Teiler von
ist, daraus gefolgert werden kann, dass
auch ein Teiler von
für alle
sein muss.
- Sei also
ein Teiler von
. Dann kann man mit den Rechenregeln der Kongruenz zeigen, dass gilt:
und
und somit gilt:
![{\displaystyle k\cdot b^{n}-1\equiv 1\cdot 1^{n}-1\equiv 0\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc9d90eb6364c82b38d2ee2c247064aea1fded5)
- Somit ist
ein Teiler von
.
Insgesamt wurde also gezeigt, dass
die Zahlen
für alle
genau dann teilt, wenn
ein Teiler von
ist. Der Beweis ist vollendet.
Um den trivialen Fall auszuschließen, bei dem lediglich eine einzige (Prim-)Zahl
alle Zahlen der Form
mit
teilt und somit
schon eine gesuchte Riesel-Zahl zur Basis b ist, muss zusätzlich die Bedingung
gefordert werden.
Nun kann man wieder die Basis
beliebig hoch werden lassen. Untersucht werden momentan aber wie schon bei Sierpiński-Zahlen „nur“ Basen bis
.
Es folgt eine Tabelle mit dem momentanen Wissensstand (Stand: 22. April 2024) für Basen bis
:[19][20]
b
|
vermutete kleinste Riesel-Zahl k
|
Problemfälle k, für die man noch keine Primzahlen kennt, die kleiner als die vermutete kleinste Riesel-Zahl k und keine Vielfachen von ebenfalls unbekannten Problemfällen sind
|
größte so gefundene Primzahl
|
2
|
509203
|
23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 351134, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 478214, 485557, 494743 (insgesamt 44 Problemfälle)
|
97139·218397548−1
|
3
|
63.064.644.938
|
3677878, 6878756, 10789522, 16874152, 18137648, 21368582, 29140796, 31064666, 38394682, 40175404, 40396658, 51672206, 52072432, 56244334, 59254534, 62126002, 62402206, 65337866, 71248336, 94210372,… (diese 20 und noch 98835 weitere, also insgesamt 98855 Problemfälle)
|
690544546·31147906−1
|
4
|
9
|
keine Problemfälle mehr
|
8·41−1
|
5
|
346802
|
4906, 23906, 26222, 35248, 68132, 71146, 76354, 81134, 92936, 102952, 109238, 109862, 127174, 131848, 134266, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 325922, 335414, 338866 (insgesamt 53 Problemfälle)
|
3622·57558139−1
|
6
|
84687
|
1597
|
36772·61723287−1
|
7
|
408.034.255.082
|
315768, 1356018, 2494112, 2631672, 3423408, 4322834, 4326672, 4363418, 4382984, 4870566, 4990788, 5529368, 6279074, 6463028, 6544614, 7446728, 7553594, 8057622, 8640204, 8733908,… (diese 20 und noch 37748 weitere bis k ≤ 2.000.000.000, also bis dahin insgesamt 37768 Problemfälle)
|
1620198·7684923−1
|
8
|
14
|
keine Problemfälle mehr
|
11·818−1
|
9
|
4
|
keine Problemfälle mehr
|
2·91−1
|
10
|
10176
|
4421
|
7019·10881309−1
|
11
|
862
|
keine Problemfälle mehr
|
62·1126202−1
|
12
|
25
|
keine Problemfälle mehr
|
24·124−1
|
13
|
302
|
keine Problemfälle mehr
|
288·13109217−1
|
14
|
4
|
keine Problemfälle mehr
|
2·144−1
|
15
|
36.370.321.851.498
|
381714, 4502952, 5237186, 7256276, 8524154, 11118550, 11176190, 12232180, 15691976, 16338798, 16695396, 18267324, 18709072, 19615792,… (diese 14 und noch viele weitere ab k > 20.000.000)
|
4242104·15728840−1
|
16
|
9
|
keine Problemfälle mehr
|
8·161−1
|
17
|
86
|
keine Problemfälle mehr
|
44·176488−1
|
18
|
246
|
keine Problemfälle mehr
|
151·18418−1
|
19
|
144
|
keine Problemfälle mehr
|
134·19202−1
|
20
|
8
|
keine Problemfälle mehr
|
2·2010−1
|
21
|
560
|
keine Problemfälle mehr
|
64·212867−1
|
22
|
4461
|
3656
|
3104·22161188−1
|
23
|
476
|
404
|
194·23211140−1
|
24
|
4
|
keine Problemfälle mehr
|
3·241−1
|
25
|
36
|
keine Problemfälle mehr
|
32·254−1
|
26
|
149
|
keine Problemfälle mehr
|
115·26520277−1
|
27
|
8
|
keine Problemfälle mehr
|
6·272−1
|
28
|
144
|
keine Problemfälle mehr
|
107·2874−1
|
29
|
4
|
keine Problemfälle mehr
|
2·29136−1
|
30
|
1369
|
659, 1024
|
239·30337990−1
|
Auch in dieser Tabelle kann man erkennen, dass für gewisse Basen
alle Problemfälle gelöst sind. Das bedeutet, dass die oben genannte Riesel-Zahl
tatsächlich die kleinste Riesel-Zahl zu dieser Basis b ist und dass folglich alle Zahlen der Form
für alle
zusammengesetzte Zahlen sind. Im Folgenden werden die kleinsten Teiler für die schon bewiesenen und die noch vermuteten kleinsten Riesel-Zahlen angegeben:[19][20]
b
|
bewiesene kleinste Riesel-Zahl k
|
vermutete kleinste Riesel-Zahl k
|
(kleinste) Teiler von
|
2
|
|
509203
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5, 7, 13, 17 oder 241
|
3
|
|
63.064.644.938
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193 oder 757
|
4
|
9
|
|
|
5
|
|
346802
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 13, 31 oder 601
|
6
|
|
84687
|
hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31, 37 oder 97
|
7
|
|
408.034.255.082
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13, 19, 43, 73, 181, 193 oder 1201
|
8
|
14
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 13
|
9
|
4
|
|
|
10
|
|
10176
|
hat immer mindestens einen der Teiler 7, 11, 13 oder 37
|
11
|
862
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37
|
12
|
25
|
|
hat für ungerade n immer den Teiler 13 für gerade n
|
13
|
302
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7 oder 17
|
14
|
4
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
|
15
|
|
36.370.321.851.498
|
hat immer mindestens einen der Teiler 13, 17, 113, 211, 241, 1489 oder 3877
|
16
|
9
|
|
|
17
|
86
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 29
|
18
|
246
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 19
|
19
|
144
|
|
hat für ungerade n immer den Teiler 5 für gerade n
|
20
|
8
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 7
|
21
|
560
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 11, 13 oder 17
|
22
|
|
4461
|
hat immer mindestens einen der Teiler 5, 23 oder 97
|
23
|
|
476
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 53
|
24
|
4
|
|
hat für ungerade n immer den Teiler 5 für gerade n
|
25
|
36
|
|
|
26
|
149
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 31 oder 37
|
27
|
8
|
|
|
28
|
144
|
|
hat für ungerade n immer den Teiler 29 für gerade n
|
29
|
4
|
|
hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5
|
30
|
|
1369
|
hat für ungerade n immer mindestens einen der Teiler 7, 13 oder 19 für gerade n
|
Es folgt noch eine Liste der vermuteten kleinsten Riesel-Zahlen zur Basis
:
- 509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 560, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16,… (Folge A273987 in OEIS)
- ↑ a b c Beweis, dass k=78557 eine Sierpiński-Zahl ist (englisch). Abgerufen am 14. Juli 2019.
- ↑ Chris K. Caldwell: Sierpinski number. The Prime Glossary, abgerufen am 27. Dezember 2019 (englisch).
- ↑ Rytis Slatkevičius: Seventeen or Bust. Prime Grid, abgerufen am 29. Dezember 2019 (englisch).
- ↑ a b c d e Wilfrid Keller: The Sierpiński Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 31. Dezember 2019 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
- ↑ Rytis Slatkevičius: Welcome to the Extended Sierpinski Problem. PrimeGrid, abgerufen am 31. Dezember 2019 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
- ↑ Chris K. Caldwell: Riesel number. The Prime Glossary, abgerufen am 1. September 2016 (englisch).
- ↑ a b Wilfrid Keller: The Riesel Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 26. April 2023 (englisch).
- ↑ Five or Bust. rechenkraft.net, abgerufen am 2. Januar 2016.
- ↑ a b Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000. PRP Records, abgerufen am 6. Juni 2021.
- ↑ Jean Pennè: Even k’s and the Sierpinski conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 30. Januar 2016 (englisch).
- ↑ Giovanni Resta: de Polignac numbers. Abgerufen am 31. Januar 2016.
- ↑ Jason „jasong“ Goatcher: Even k’s and the Riesel conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 17. Februar 2016 (englisch).
- ↑ „kar_bon“: Even k’s and the Riesel conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 1. April 2008 (englisch).
- ↑ a b Gary Barnes: Riesel conjecture base 2 remain. Mersenneforum, abgerufen am 18. Dezember 2017 (englisch).
- ↑ Jean Pennè: Index of Sierpeven. Abgerufen am 30. Januar 2016.
- ↑ Amy Brunner, Chris K.Caldwell, Daniel Krywaruczenko, Chris Lownsdale: Generalized Sierpiński numbers base b. (PDF) University of Tennessee at Martin, S. 2, abgerufen am 25. März 2016.
- ↑ a b Gary Barnes: Sierpinski conjectures and proofs. Abgerufen am 22. April 2024.
- ↑ a b Gary Barnes: Sierpinski conjectures and proofs, Powers of 2. Abgerufen am 15. April 2024.
- ↑ a b Gary Barnes: Riesel conjectures and proofs. Abgerufen am 22. April 2024.
- ↑ a b Gary Barnes: Riesel conjectures and proofs, Powers of 2. Abgerufen am 31. März 2024.