Satz von Madsen und Weiss

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Als Mumford-Vermutung oder Satz von Madsen und Weiss wird in der Mathematik ein Lehrsatz über die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe oder des Modulraums Riemannscher Flächen bezeichnet.

Der Beweis stammt von Ib Madsen und Michael Weiss.

Sei die kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht mit Randkomponenten, und sei ihre Abbildungsklassengruppen, deren Repräsentanten also per Definition alle Randkomponenten festlassen.

Für ist

dadurch definiert, dass die Repräsentanten durch die Identitätsabbildung auf dem zusätzlichen Henkel fortgesetzt werden.

Der Stabilitätssatz von Harer besagt, dass einen Isomorphismus in Gruppenkohomologie in Graden induziert und dass in diesem Bereich die Kohomologiegruppen unabhängig von sind, man sich also auf beschränken kann.

Man kann also die stabile Kohomologie der Abbildungsklassengruppe definieren als für hinreichend große . Die stabile Kohomologie wird notiert als .

Die Mumford-Vermutung besagte, dass

mit den Morita-Miller-Mumford-Klassen ist. (Mumford formulierte diese Vermutung für die Kohomologie des Modulraums Riemannscher Flächen, was für rationale Koeffizienten aber mit der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe übereinstimmt.)

Madsen-Weiss bewiesen, dass man eine Homotopieäquivalenz

hat. Daraus folgt insbesondere die Mumford-Vermutung.

Verallgemeinerung in höherer Dimension

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Für ist die von den verallgemeinerten Morita-Miller-Mumford-Klassen erzeugte Algebra, wobei alle Monome vom Grad größer als durchläuft, in denen für nicht vorkommt.[1]

  • G. Powell: The Mumford conjecture (after Madsen and Weiss). Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Astérisque 307 (2006), Exp. No. 944, 247–282
  • I. Madsen, M. Weiss: The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 3, 843–941.
  • S. Galatius, I. Madsen, U. Tillmann, M. Weiss: The homotopy type of the cobordism category. Acta Math. 202 (2009), no. 2, 195–239.
  • Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev: Madsen-Weiss for geometrically minded topologists. Geom. Topol. 15 (2011), no. 1, 411–472.

Einzelnachweise

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  1. S. Galatius, O. Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds. Acta Math. 212 (2014), no. 2, 257–377.