Størmer-Zahl

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Eine Størmer-Zahl, auch als Arkuskotangens-irreduzible Zahl (englisch arc-cotangent irreducible number) bezeichnet, ist eine natürliche Zahl , für die der größte Primfaktor von größer oder gleich ist. Namensgeber ist der norwegische Geophysiker und Mathematiker Carl Størmer.

Eine natürliche Zahl heißt Størmer-Zahl, wenn es eine Primzahl gibt mit und , wobei | für die Teilbarkeitsrelation steht.[1]

n=33 ist eine Størmer-Zahl. Der größte Primfaktor von ist , und dieser ist größer als .

Størmer-Zahlen

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Folgende Zahlen sind Størmer-Zahlen:[2]

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, …

John Todd hat bewiesen, dass diese Folge weder endlich noch koendlich ist.

Størmer-Zahlen treten bei der Untersuchung von Werten der Arkuskotangens-Funktion an ganzzahligen Stellen auf. Man nennt einen solchen Wert (auch Gregory-Zahl genannt) reduzibel, wenn er als ganzzahlige Linearkombination

solcher Werte an kleineren Stellen geschrieben werden kann, wie zum Beispiel

Es stellt sich heraus, dass genau dann irreduzibel, also nicht eine solche Linearkombination ist, wenn eine Størmer-Zahl ist.[3] Die gezeigte Art der Zerlegung erklärt die eingangs genannte alternative Bezeichnung „Arkuskotangens-irreduzible Zahl“.

Einzelnachweise

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  1. John H. Conway, R. K. Guy: The Book of Numbers, Copernicus Press, S. 246
  2. Folge A005528. Abgerufen am 24. April 2019.
  3. John Todd: A Problem on Arc Tangent Relations, American Mathematical Monthly (1949), Band 56, No. 8, Seiten 517–528. Dieses auch auf JSTOR:2305526.