Korrelationsmatrix

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In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten.[1] Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix ist die Korrelationsmatrix definiert als[2]

,

wobei der Korrelationskoeffizient zwischen und ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von die Korrelation von mit jeder anderen -Variablen. Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als bzw. und die Stichproben-Korrelationsmatrix als bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix definiert, dann erhält man durch und umgekehrt:

oder äquivalent

.
  • Sind alle Komponenten des Zufallsvektors linear unabhängig, so ist positiv definit.
  • Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
  • Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit .[3]

Stichproben-Korrelationsmatrix

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Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit durch die empirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke) ersetzt. Dies führt zur Stichproben-Korrelationsmatrix

.

Einzelnachweise

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  1. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 646.ff.
  2. Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 77.
  3. Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 247.