Telegraphengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Allgemeines

Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei $a>0$ hyperbolisch, bei $a<0$ elliptisch und bei $a=0$ parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:

$\Delta {\vec {F}}=a\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+c\cdot {\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial x}}+d\cdot {\vec {F}}$.

Dabei ist $\Delta {\vec {F}}$ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also $\Delta {\vec {F}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial x^{2}}}$. Die Ableitung nach $x$ steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar $F$ stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\Delta {\vec {F}}=a{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}$

Der Vorfaktor $a$ hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

$\Delta {\vec {E}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

und

$\Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$.

wobei $c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\,\varepsilon _{0}}}$ (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist $\sigma =0$ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

$\Delta F=a{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}$

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung $U$ und dem Strom $I$ in einer Doppelleitung mit Induktivität $L$ und Kapazität $C$ (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}$

bzw.

${\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}=L\,C{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}$

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da $a=L\,C$ breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit ${\frac {1}{\sqrt {(L\,C)}}}$ aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste ($\sigma =0$ wie im freien Raum).

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Weblinks

• Telegraphengleichung, Lexikon der Physik, Spektrum Verlag