Typ-I-Von-Neumann-Algebra

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Typ-I-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den ersten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Typ-I-Von-Neumann-Algebren nennt man auch diskret.

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ist selbstadjungiertes idempotentes Element , das heißt, es gilt . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem Zentrum der Algebra ist, deren Produkt mit gleich ist. Sie heißt genauer vom Typ In, wenn das Einselement Summe von paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen orthogonal, falls , und sie heißen äquivalent, falls es ein Element gibt mit . Die Summe ist bei unendlichem im Sinne der starken Operatortopologie zu verstehen.[1]

  • Abelsche Von-Neumann-Algebren sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.
  • Die Algebra der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum ist vom Typ In, wobei die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich eine Orthogonalbasis und ist die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum , so sind die abelsch, untereinander äquivalent und es ist .

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen Hilbertraum. Dann hat man für Typ-In-Algebren nur die Fälle zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

,

wobei

  • jedes ist eine Projektion aus dem Zentrum von (möglicherweise 0)
  • die sind paarweise orthogonal
  • im Sinne der starken Operatortopologie.
  • ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ In auf dem Hilbertraum , falls .

Jede Von-Neumann-Algebra vom Typ In ist isomorph zum Tensorprodukt , wobei ein n-dimensionaler Hilbertraum und das Zentrum von ist.[2]

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren ist.[3]

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher Kommutante ist.[4]

Einzelnachweise

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  1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11