Der Spinor-Helizitäts-Formalismus, auch Weyl-van-der-Waerden-Formalismus nach Hermann Weyl und Bartel Leendert van der Waerden, ist eine alternative mathematische Formulierung von Quantenfeldtheorien, die auf der Verwendung von Spinoren und Invarianten der speziellen linearen Gruppe statt der Verwendung von Vierervektoren und Invarianten der Lorentzgruppe basiert.
In 3+1 Raumzeit-Dimensionen ist die reelle Lorentzgruppe
isomorph zur komplexen speziellen linearen Gruppe in zwei Dimensionen,
. Dies führt dazu, dass jedem Gruppenelement der Lorentzgruppe ein Element der komplexen speziellen linearen Gruppe zugeordnet werden kann und jedem Vektor in der reellen vierdimensionalen Raumzeit
, auf der die Lorentzgruppe operiert, eine Matrix im Raum der komplexen
-Matrizen
, auf der die spezielle lineare Gruppe operiert. Dieser Übergang erfolgt durch die vier Pauli-Matrizen
. Sei
ein Vierervektor, dann gilt:
![{\displaystyle k^{a{\dot {a}}}=\sigma _{\mu }^{a{\dot {a}}}k^{\mu }={\begin{pmatrix}k_{0}+k_{3}&k_{1}-\mathrm {i} k_{2}\\k_{1}+\mathrm {i} k_{2}&k_{0}-k_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecd59978b38e0fad378eb09167d59690bcac976)
Die griechischen Indizes
bezeichnen Lorentzindizes, die von 0 bis 3 laufen, während die lateinischen Indizes
Spinorindizes heißen und von 1 bis 2 laufen. Die Rücktransformation vom
in den
funktioniert via
![{\displaystyle k_{\mu }={\frac {1}{2}}{\bar {\sigma }}_{{\dot {a}}a}^{\mu }k^{a{\dot {a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00bc2fbbeb5352f06debbc8b89c5619f23fb3b48)
Die lorentzinvariante Größe
übersetzt sich via
![{\displaystyle k^{\mu }p_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ba}\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}k^{a{\dot {a}}}p^{b{\dot {b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab6892876d68f7945d2dde2013c48f97bd15bb8)
mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol
. Insbesondere gilt
.
Die Gruppenoperation eines Elements der Lorentzgruppe
mit einer Lorentzmatrix
übersetzt sich als
![{\displaystyle k^{a{\dot {a}}}\to k'^{a{\dot {a}}}=\zeta _{b}^{a}k^{b{\dot {b}}}{\tilde {\zeta }}_{\dot {b}}^{\dot {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80db09a63afca33f08e1276fa55a3afbdb83352)
mit
. Die Matrizen
sind dabei für Drehungen um eine Achse
mit dem Winkel
![{\displaystyle \zeta (R_{i}(\theta ))=\exp(-\mathrm {i} {\tfrac {\alpha }{2}}\sigma _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6668e334479dc7b073066c4d30987f67cf4fdc1)
und für Lorentz-Boosts entlang einer Achse
mit der Rapidität
![{\displaystyle \zeta (B_{i}(\theta ))=\exp(-\mathrm {\tfrac {\theta }{2}} \sigma _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d136555b78ce07d9283044419342170963cf8ca0)
wobei
das Matrixexponential bezeichnet.[1]
Dies kann auf die komplexe Lorentzgruppe
, die auf
operiert, verallgemeinert werden. Dann gilt der Isomorphismus
und
muss nicht zwangsläufig gleich
sein und es muss nicht
gelten.
Aus
folgt, dass ein lichtartiger Vektor
sich in eine Matrix ohne vollen Rang übersetzt. Da die Dimension von
zwei ist, folgt
, sofern
ist. Daher kann
als dyadisches Produkt geschrieben werden:
![{\displaystyle k^{a{\dot {a}}}=\kappa ^{a}{\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3793231ac6a107ca219411af4ab659c316774f3f)
Sowohl
als auch
sind zweidimensionale Objekte, genannt Spinoren. Der Spinor
heißt holomorpher Spinor, der Spinor
antiholomorpher Spinor. Eine explizite Darstellung dieser Spinoren lautet:[2]
![{\displaystyle \kappa ^{a}={\frac {1}{\sqrt {k_{0}+k_{3}}}}{\begin{pmatrix}k_{0}+k_{3}\\k_{1}+\mathrm {i} k_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}={\frac {1}{\sqrt {k_{0}+k_{3}}}}{\begin{pmatrix}k_{0}+k_{3}&k_{1}-\mathrm {i} k_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d468db3fd194d3c9304b9ebbd858f30ec23d0b)
Insbesondere können die Spinoren um einen Faktor
respektive
reskaliert werden, ohne dass dies die Matrix
ändern würde. Es ist ersichtlich, dass die beiden Spinoren adjungiert sind, sofern der Vektor
reell ist. Im Folgenden sei angenommen, dass alle auftretenden Vektoren lichtartig sind.
Ein Skalarprodukt von zwei Vierervektoren kann daher als
![{\displaystyle k\cdot p=\kappa ^{a}\varepsilon _{ab}\pi ^{b}{\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}{\tilde {\pi }}^{\dot {b}}\equiv \langle \kappa \pi \rangle [\pi \kappa ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfae8e92f5fd129c71157a9c455851258d6ef7f)
geschrieben werden. Die Levi-Civita-Symbole übernehmen in diesem Sinn die Rolle der Metrik in der
. Es gilt
und ![{\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{\dot {b}}=\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}{\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0572c58a85b4f16399fe7b5c15a5f9a425563fa5)
Analog zur Bra-Ket-Notation lautet die Notation für die Spinoren:
![{\displaystyle \kappa ^{a}=\kappa \rangle \quad \kappa _{a}=\langle \kappa \quad {\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}=[\kappa \quad {\tilde {\kappa }}_{\dot {a}}=\kappa ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be37b6088055856e38e0fa909446fb024e6cf545)
Insbesondere ist aufgrund der Antisymmetrie des Levi-Civita-Symbols
.
Ein raum- oder zeitartiger Vektor kann stets mittels
![{\displaystyle k=k^{\flat }+{\frac {k^{2}}{2k\cdot p}}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db1678f27f0bb659a16cc8b7676c05c1335d449)
in zwei lichtartige Vektoren dekomponiert werden. In diesem Beispiel heißt
Hilfsvektor.
Mithilfe des Spinor-Helizitäts-Formalismus ist die Lösung der Dirac-Gleichung trivial. Die Dirac-Gleichung lautet:
![{\displaystyle (-\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f57284cc0312e824519c516079d40b53ffaac6)
Dabei ist
der Impuls des Teilchens und
die Dirac-Matrizen. Der Ansatz
bzw.
führt zu
und ![{\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58077500197c501f3cda07eed23cd5f6b9ab89ed)
für Teilchen beziehungsweise Antiteilchen. In Weyl-Darstellung gilt
![{\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\bar {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec1dea359822388b461dacc0c7bed6394aa20a2)
Auf der Massenschale ist ferner
raumartig und muss daher dekomponiert werden, sodass die Dirac-Gleichung im Spinor-Helizitäts-Formalismus
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mp m&\pi \rangle [\pi +{\frac {m^{2}}{\langle \pi \mu \rangle [\mu \pi ]}}\mu \rangle [\mu \\\pi ]\langle \pi +{\frac {m^{2}}{\langle \pi \mu \rangle [\mu \pi ]}}\mu ]\langle \mu &\mp m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\rangle \\u]\end{pmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ffc1b991b1cb0c503fa39e026987ec31c35a9e)
mit einem Hilfs„vektor“
lautet. Es folgt
und ![{\displaystyle \psi ]\!{\big ]}\equiv {\begin{pmatrix}\pm {\frac {m}{\langle \pi \mu \rangle }}\mu \rangle \\\pi ]\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d83bff815c37f3557dd60eb1ab68c27dfe50d37)
als Lösungen des Eigenwertproblems.[3] Die Dirac-Spinoren sind so normiert, sodass
gilt. Im massiven Fall sind die Spinoren insbesondere von der Wahl des Hilfsvektors abhängig; im masselosen Fall nicht.
Die Maxwell-Gleichungen
![{\displaystyle p_{\mu }\epsilon ^{\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0432c45f0b5a10a9a760b5314fa4b50bb56ac34)
mit dem Polarisationsvektor
besitzt die beiden Lösungen
und ![{\displaystyle \epsilon _{+}=-{\sqrt {2}}{\frac {\mu \rangle [\pi }{\langle \pi \mu \rangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86f973e205a228e357470ce1c5d5235506e9cb1)
wobei
gilt. Die Normierung wurde so gewählt, dass die beiden Lösungen orthonormal sind. Das + und - der Lösungen steht für die Helizität des Polarisationsvektors.[4]
Die Proca-Gleichung für massive Vektorbosonen hat die zusätzliche Lösung
![{\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{m}}\left(\pi \rangle [\pi -{\frac {m^{2}}{\langle \pi \mu \rangle [\mu \pi ]}}\mu \rangle [\mu \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3ce85e22585c11fe60ce89fba708bb99f8bb00)
die der longitudinalen Polarisationsmode entspricht.
Im Spinor-Helizitäts-Formalismus kann für masselose Teilchen sehr einfach ein Helizitätsoperator definiert werden.
![{\displaystyle h={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(-\pi _{i}\rangle {\frac {\partial }{\partial \pi _{i}\rangle }}+\pi _{i}]{\frac {\partial }{\partial \pi _{i}]}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880d59d271e1e2aa7a21e521f8161e75f34d2622)
Die Summe läuft über alle beteiligten Impulse
. Der Helizitätsoperator zählt also für jedes
½ hinzu und zieht für jedes
½ ab.
Man kann nun sehr einfach sehen, dass für die Polarisationsvektoren gilt:
und ![{\displaystyle h\epsilon _{+}=+\epsilon _{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009da258c406354559aa26b29858546078d6d3f0)
Johannes M. Henn, Jan C. Plefka: Scattering Amplitudes in Gauge Theories. Springer, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-54021-9 (englisch).
- ↑ Eduardo Conde und Andrea Marzolla: Lorentz Constraints on Massive Three-Point Amplitudes. Januar 2016, arxiv:1601.08113.
- ↑ Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, S. 537 (englisch).
- ↑ Timothy Cohen, Henriette Elvang und Michael Kiermaier: On-shell constructibility of tree amplitudes in general field theories. Oktober 2010, arxiv:1010.0257.
- ↑ Henriette Elvang, Yu-tin Huang: Scattering Amplitudes. arxiv:1308.1697v2 (englisch).