R-Matrix

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In der statistischen Physik werden Matrizen , welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang[1] und Rodney Baxter[2]):

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

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Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine -Matrix mit Einträgen kann als Endomorphismus des mit Basis aufgefasst werden, also

.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

,

wobei der Endomorphismus von ist, der auf den Faktoren als wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

und

.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

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Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

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Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Einzelnachweise

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  1. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
  2. Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR:75051