Siegel-Scheibe

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Siegel-Scheiben der Abbildung

In der Mathematik sind Siegel-Scheiben ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Sei eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen. Eine Zusammenhangskomponente der Fatou-Menge heißt Siegel-Scheibe um , wenn es eine biholomorphe Abbildung auf die Einheitskreisscheibe mit gibt, so dass eine irrationale Drehung, also für ein ist.

Die Frage, ob es zu gegebenem und eine Siegel-Scheibe gibt, wird in älterer Literatur als Zentrumsproblem bezeichnet.

Sätze von Siegel und Brjuno

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Damit es eine Siegel-Scheibe geben kann, muss die Rotationszahl von der Form mit einer irrationalen Zahl sein.

Siegel bewies 1942, dass es eine Siegel-Scheibe gibt, wenn man Konstanten und findet, so dass für alle rationalen Zahlen gilt.

Rüßmann und Brjuno verbesserten diese arithmetische Bedingung Ende der 1960er Jahre.

Satz von Brjuno: Es gibt eine Siegel-Scheibe, wenn für die Folge in der Kettenbruchentwicklung von gilt: . (Solche Zahlen werden als Brjuno-Zahlen bezeichnet.)

Yoccoz bewies 1988, dass Brjunos Bedingung optimal ist. Zu jeder Zahl , die keine Brjuno-Zahl ist, ist eine nicht-linearisierbare holomorphe Funktion.

  • Carl Ludwig Siegel: Iteration of analytic functions, Ann. Math. 43, 607–612 (1942)
  • Alexander D. Brjuno: Analytic form of differential equations. I, II, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva 25, 119–262 (1971)
  • Jean-Christophe Yoccoz: Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, Petits diviseurs en dimension 1, Astérisque 231, 3–88 (1995)