Barwert

Der Barwert, auch Gegenwartswert genannt (englisch present value), ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Der Barwert ist der Wert, den zukünftige Zahlungen in der Gegenwart besitzen. Er wird durch Abzinsung der zukünftigen Zahlungen und anschließendes Summieren ermittelt. Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des (finanzmathematischen) Barwerts darstellt.

Hintergründe

Im Finanzwesen sind Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, nicht direkt miteinander vergleichbar. Dies liegt daran, dass sich Geld in der Regel zinsbringend auf dem Kapitalmarkt anlegen lässt, was zur Folge hat, dass früher erhaltene Zahlungen üblicherweise mehr wert sind als später erhaltene Zahlungen. Um Vergleichbarkeit herzustellen, müssen Zahlungen auf einen gemeinsamen Zeitpunkt bezogen werden, was mithilfe von Auf- bzw. Abzinsungen geschieht. Bei Barwertbetrachtungen ist dieser gemeinsame Zeitpunkt die Gegenwart („heute“), das heißt alle zukünftigen Zahlungen werden auf den heutigen Zeitpunkt abgezinst.

Barwertberechnungen

Barwert einer einzigen Zahlung

Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung $C_{t}$ zu ermitteln, die zu einem zukünftigen Zeitpunkt $t$ anfällt. Wird ein konstanter Periodenzinssatz $i$ zugrunde gelegt, so beträgt der Barwert

$BW(C_{t})=C_{t}\cdot DF(i,t)$,

wobei $DF(i,t)$ der Diskontierungsfaktor ist, dessen genaue Form von der gewählten Zinskonvention abhängt. Für den einfachen Fall, dass $t$ eine ganze Zahl von Jahren bezeichnet, lautet der Diskontierungsfaktor

$DF(i,t)={\frac {1}{(1+i)^{t}}}$

und somit beträgt der Barwert

$BW(C_{t})={\frac {C_{t}}{(1+i)^{t}}}$.

Barwert einer Anleihe

Häufig wird die Barwertformel angewendet, um den Preis einer festverzinslichen Anleihe zu berechnen. Eine Anleihe mit einem Nominalwert (Rückzahlungsbetrag) $N$, einer Laufzeit von $T$ ganzen Jahren und konstanten jährlichen Kuponzahlungen $C$ hat die Zahlungsreihe $(C,C,\ldots ,C+N)$. Der Barwert berechnet sich demnach als

$BW(C,C,\ldots ,C+N)={\frac {C}{(1+i)}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+\dots +{\frac {C}{(1+i)^{T}}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}$.

Beträgt die Zeit bis zur ersten Kuponzahlung weniger als ein Jahr, enthält der Barwert zeitanteilige Stückzinsen für den ersten Kupon und wird als „dirty price“ bezeichnet. Zieht man vom „dirty price“ die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den sogenannten „clean price“. Der „clean price“ ist der Preis, der bei Börsennotizen, in Kurslisten o. Ä. aufgeführt wird. Der „dirty price“ ist der Preis, der bei einer Veräußerung tatsächlich gezahlt wird.

Barwert einer Annuität

Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleich bleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer ewigen Rente (auch Perpetuität genannt).

Der Barwert des Betrages $C$, der einmal pro Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt, beträgt bei einem Kalkulationszinssatz $i$

$BW(C,C,\ldots )={\frac {C}{i}}$.

Fließt die (nachschüssige) Rente nur $N$ Jahre, so ist der Barwert

$BW(C,C,\ldots ,C)=BW(C,C,\ldots )\cdot \left(1-{\frac {1}{{\big (}1+i{\big )}^{N}}}\right)={\frac {C}{i}}-C{\frac {1}{i{\big (}1+i{\big )}^{N}}}=C\cdot \left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i{\big (}1+i{\big )}^{N}}}\right)$.

Je größer $N$ und je größer $i$ werden, desto mehr nähert sich das Ergebnis dem einer ewigen Rente an. Der Faktor zwischen Zahlung und Barwert heißt Rentenbarwertfaktor (=BW/C), sein Kehrwert heißt Annuitätenbarwertfaktor (=C/BW).

Beispiele: Bei einem Zinssatz von 5 % ist der Barwert der ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 20. Der Barwert einer 30 Jahre laufenden Rente ist das 15,4fache der jährlichen Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 15,4. Der Barwert einer einjährigen Rente ist 1/1,05-mal so hoch wie die Ausschüttung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 1/1,05, was etwas größer als 0,95 ist.

Kapitalwert

→ Hauptartikel: Kapitalwert

Der Kapitalwert (englisch net present value) ist eine Barwertbetrachtung, die zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen vorgenommen wird. Dabei wird der Barwert aller mit der Investition verbundenen Ein- und Auszahlungen über den Amortisationszeitraum der Investition ermittelt. Die Investition ist wirtschaftlich, wenn dieser Barwert positiv ist.

Auszahlungen resultieren dabei typischerweise aus Investitionsausgaben und sind daher am Anfang des betrachteten Zeitraums fällig. Nettoeinzahlungen resultieren aus den von der Investition erwarteten zusätzlichen Erlösen, sind typischerweise erst zu einem späteren Zeitpunkt zu erwarten und werden somit stärker diskontiert.

Versicherungsmathematischer Barwert

Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie Sterbewahrscheinlichkeiten und Ähnliches ein.

Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.

Siehe auch

• Barwertidentität
• Discounted Cash Flow
• Endwert
• Kapitalwert

Literatur

• Peter Albrecht: Grundprinzipien der Finanz- und Versicherungsmathematik. Schäffer-Poeschel Verlag Stuttgart 2007, ISBN 978-3-7992-6201-9.

Weblinks

Wiktionary: Barwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen