Beschreibung

Beschreibung01-65.537-Eck-Quadratrix.svg	Deutsch: 65537-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias und GeoGebra als zusätzliche Hilfsmittel, mit Kurzbeschreibung English: 65537-gon, exact construction for the 1st side, using the Quadratrix of Hippias and GeoGebra as additional aids, with brief description
Datum	13. November 2017
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Konstruktion

Quadratrix des Hippias und ein Programm für dynamische Geometrie als zusätzliche Hilfsmittel

Der Ansatz gleicht dem des 257-Ecks. Um die 1. Seite des 65537-Ecks deutlich sichtbar darstellen zu können, würde es eines Umkreisradius von ${\displaystyle r=100\;m}$ bedürfen, denn erst damit wäre die Länge der Seite ${\displaystyle a}$ ca. ${\displaystyle 9{,}6\;mm}$. Deshalb ist für eine praktikable Vorgehensweise, neben der Quadratrix des Hippias, für die erforderlichen Winkelhalbierungen sowie für die starke Vergrößerung der 1. Seite ${\displaystyle a}$ ein Programm für dynamische Geometrie, z. B. Zirkel und Lineal oder GeoGebra, als weiteres Hilfsmittel erforderlich.

Die nebenstehende Darstellung verwendet als zweites Hilfsmittel GeoGebra. Mithilfe der Quadratrix wird nicht zuerst der erste Eckpunkt ${\displaystyle E_{1}}$ des 65537-Ecks gesucht, sondern der 2048. Eckpunkt ${\displaystyle E_{2048}}$. Der Eckpunkt ${\displaystyle E_{2048}}$ lässt sich auf folgende Art und Weise finden:

Für den Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ des Kreisausschnittes ${\displaystyle OE_{65537}E_{2048}}$ gilt

${\displaystyle \mu =2048\cdot {\frac {360^{\circ }}{65537}}=11{,}249828\ldots ^{\circ }}$,

mit Berücksichtigung des Mittelpunktswinkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ des Viertelkreises erhält man

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}\cdot 90^{\circ }={\frac {65537\cdot 90^{\circ }}{2048\cdot 360^{\circ }}}=8{\frac {1}{8192}}=8{,}0001220703125.}$

Diese Dezimalzahl ist mithilfe des dritten Strahlensatzes mit Zirkel und Lineal konstruierbar

Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {OL}}}$ in Längeneinheiten [LE], sprich der Abstand vom Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Umkreises bis zum Funktionspunkt ${\displaystyle L}$ errechnet sich aus

${\displaystyle {\overline {OL}}={\frac {\mu }{90^{\circ }}}={\frac {2048\cdot 360^{\circ }}{65537\cdot 90^{\circ }}}={\frac {8192}{65537}}={\frac {1}{8{,}0001220703125}}=0{,}124998\ldots }$ [LE]

Der Wert des Quotienten ${\displaystyle {\frac {1}{8{,}0001220703125}}}$ ist ebenso mit Zirkel und Lineal unter Zuhilfenahme des dritten Strahlensatzes konstruierbar.

Die abschließende elffache Winkelhalbierung (z. B. mithilfe von elf Mittelsenkrechten) erzeugt den Eckpunkt ${\displaystyle E_{1}}$. Somit entspricht der Abstand ${\displaystyle |E_{65537}E_{1}|}$, wie auch das Bild 65537-Eck, Vergrößerung der 1. Seite ${\displaystyle a}$ zeigt, exakt der ersten Seitenlänge ${\displaystyle a=0{,}00009587233631\ldots }$ [LE] des 65537-Ecks.

65537-Eck, Vergrößerung der 1. Seite ${\displaystyle a}$ als Animation, am Ende 15 s Pause

65537-Eck mit konstruiertem Eckpunkt ${\displaystyle E_{2048}}$, Winkel ${\displaystyle \beta }$ schließt 2049 Eckpunkte ein

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