Beschreibung

Beschreibung01-Würfelverdoppelung-E-15-1.svg	Deutsch: Würfelverdoppelung, Näherungskonstruktion English: Doubling the cube, proximity construction
Datum	24. April 2018
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion

1. Quadrat mit beliebiger Seitenlänge ${\displaystyle a_{1}}$, Ecken gegen den Uhrzeigersinn ${\displaystyle A,B,C,}$ und ${\displaystyle D}$.
2. Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Quadrates mithilfe zweier kurzer Diagonalenabschnitte, Umkreis des Quadrates.
3. Mittelachse durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle E,I,J,}$ und ${\displaystyle F}$.
4. Mittelachse senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle G,K,L,}$ und ${\displaystyle H}$.
5. Strecken ${\displaystyle {\overline {IN}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {IJ}},\;\;{\overline {IO}}={\overline {IN}}={\overline {NP}}={\overline {PQ}}}$.
6. Strecken ${\displaystyle {\overline {OR}}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {IO}}={\overline {ES}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle S}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle T}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle U}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle G}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {IN}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |GU|={\overline {IN}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle V}$ als ${\displaystyle |PV|={\overline {PH}}}$ bis ${\displaystyle F_{1}}$ als ${\displaystyle |BF_{1}|={\overline {MQ}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle F_{1}}$ durch ${\displaystyle E_{1}}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle G_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle G_{1}}$ durch ${\displaystyle D_{1}}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle H_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle I_{1}}$ bis ${\displaystyle O_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Letzte Sekante von ${\displaystyle O_{1}}$ bis ${\displaystyle E}$ schneidet die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ in ${\displaystyle P_{1}}$.
10. Ein kurzer Kreisbogen um ${\displaystyle M}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {P_{1}M}}}$ liefert mit ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}}=a_{2}}$ die Seitenlänge des gesuchten Würfels 2.

• Somit ergibt sich:

Die Strecke P₁Q₁, sie entspricht der Seitenlänge a₂ des Würfels 2.

b) Ein Würfel 2 mit einem Volumen, das im Vergleich zum gegebenen Würfel 1 nahezu doppelt so groß ist.

Ergebnis

Bezogen auf einem Würfel mit der Seitenlänge a₁ = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des verdoppelten Würfels in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}=1{,}259921049894872\;[LE]}$
• Seitenlänge des verdoppelten Würfels ${\displaystyle a_{2\;SOLL}={\sqrt[{3}]{2}}=1{,}259921049894873164...\;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des verdoppelten Würfels ${\displaystyle Fa_{2}=-1{,}16...E-15\;[LE]}$
• Volumen des verdoppelten Würfels mit konstruierter Seitenlänge in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}{^{3}}=1{,}999999999999994453...\;[VE]}$
• Volumen des verdoppelten Würfels ${\displaystyle a_{2\;SOLL}{^{3}}=2{,}0\;[VE]}$
• Absoluter Fehler des Volumens mit konstruierter Seitenlänge ${\displaystyle F_{V}=a_{2}{^{3}}-a_{2\;SOLL}{^{3}}=-5{,}54...E-15\;[VE]}$

Beispiel um die Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 ca. -1,2 mm.
• Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 ca. -5,5 dm³ oder ca. -5,5 Liter.

Proximity construction

1. Square with arbitrary side length ${\displaystyle a_{1}}$, corners counterclockwise ${\displaystyle A,B,C,}$ and ${\displaystyle D}$.
2. center ${\displaystyle M}$ of the square with the help of two short diagonal sections, circumcircle of the square.
3. Center axis through ${\displaystyle M}$ results in intersections ${\displaystyle E,I,J,}$ and ${\displaystyle F}$.
4. Center axis perpendicular to ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ through ${\displaystyle M}$ gives intersections ${\displaystyle G,K,L,}$ and ${\displaystyle H}$.
5. Line segments ${\displaystyle {\overline {IN}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {IJ}},\;\;{\overline {IO}}={\overline {IN}}={\overline {NP}}={\overline {PQ}}}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {OR}}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {IO}}={\overline {ES}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle S}$ gives intersection ${\displaystyle T}$.
7. Determine function points:

It starts with the secant from ${\displaystyle F_{1}}$ through ${\displaystyle E_{1}}$ until it intersects the outer circle line in ${\displaystyle G_{1}}$. The next secant runs from the last obtained intersection point ${\displaystyle G_{1}}$ through ${\displaystyle D_{1}}$ until it again intersects the outer circle line in ${\displaystyle H_{1}}$. In this way also the points from ${\displaystyle I_{1}}$ to ${\displaystyle O_{1}}$ (order is to be taken from the course of the secants) are determined.

8. Drawing in the circle secants:

It starts with the secant from ${\displaystyle F_{1}}$ through ${\displaystyle E_{1}}$ until it intersects the outer circle line in ${\displaystyle G_{1}}$. The next secant runs from the last intersection point ${\displaystyle G_{1}}$ through ${\displaystyle D_{1}}$ until it again intersects the outer circular line in ${\displaystyle H_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle I_{1}}$ to ${\displaystyle O_{1}}$ (the order can be seen from the course of the secants) are also determined.

9. Last secant from ${\displaystyle O_{1}}$ to ${\displaystyle E}$ intersects the central axis ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ in ${\displaystyle P_{1}}$.
10. A short arc around ${\displaystyle M}$ with radius ${\displaystyle {\overline {P_{1}M}}}$ returns with ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}}=a_{2}}$ the side length of the cube 2 we are looking for.

• This results in:

The segment P₁Q₁, it corresponds to the side length a₂ of cube 2.

b) A cube 2 with a volume almost twice as large compared to the given cube 1.

Score

In relation to a cube with side length a₁ = 1 [unit of length]

• Constructed side length of the doubled cube in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}=1.259921049894872\;[unit\;of\;length]}$
• Side length of the doubled cube ${\displaystyle a_{2\;should}={\sqrt[{3}]{2}}=1.259921049894873164...\;[unit\;of\;length]}$
• Absolute error of the constructed side length of the doubled cube ${\displaystyle Fa_{2}=-1.16...E-15\;[unit\;of\;length]}$
• Volume of the doubled cube with a constructed side length in GeoGebra ${\displaystyle a_{2}{^{3}}=1.999999999999994453...\;[unit\;of\;length]}$
• Volume of the doubled cube ${\displaystyle a_{2\;should}{^{3}}=2.0\;[unit\;of\;volume]}$
• Absolute error of the volume with a constructed side length ${\displaystyle F_{V}=a_{2}{^{3}}-a_{2\;should}{^{3}}=-5.54...E-15\;[unit\;of\;volume]}$

Example to illustrate the error

• For a cube 1 with the side length a₁ = 1 billion km (the light would need about 56 minutes for this distance), the error of the side length a₂ of the doubled cube 2 would be approx. -1.2 mm.
• For a cube 1 with the side length a1 = 10 km, the error of the volume of the doubled cube 2 would be approx. -5.5 dm³ or approx. -5.5 liter.

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