Beschreibung

Beschreibung01 Neuneck-60°.svg	Deutsch: Neuneck (Nonagon) bei gegebenem Umkreis mit Winkeldreiteilung, Näherungskonstruktion English: Nonagon for a given circumference with an angle trisection, an approximation construction
Datum	20. September 2022
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Lizenz

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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

Konstruktion

(Siehe hierzu auch die Animation)

1. Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle r={\overline {OA}}}$ um Mittelpunkt ${\displaystyle O.}$
2. Winkelschenkel ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ und Winkelschenkel ${\displaystyle {\overline {OB}}}$ schließen den Winkel ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$ im Scheitel ${\displaystyle O}$ ein.
3. Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ um ${\displaystyle O}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {OC}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}}$; die Verlängerung des Winkelschenkels ${\displaystyle {\overline {BO}}}$ schneidet Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle D.}$
4. Durchmesser ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ des Kreises ${\displaystyle k_{2}}$ mit ${\displaystyle \angle {EOA=45^{\circ }}.}$
5. Bestimme Punkt ${\displaystyle G}$ auf Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ so, dass ${\displaystyle |EG|={\overline {EO}}.}$
6. Strecke ${\displaystyle {\overline {OF}}}$ in ${\displaystyle H}$ halbieren, die anschließende, nicht eingezeichnete, Mittelsenkrechte von ${\displaystyle |GH|}$ schneidet ${\displaystyle {\overline {OE}}}$ in ${\displaystyle I,}$ ergibt ${\displaystyle |IG|={\overline {IH}}.}$
7. Linie durch ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle D}$; deren Enden liegen nahe am Kreis ${\displaystyle k_{1}.}$
8. Parallele zu ${\displaystyle {\overline {ED}}}$ ab ${\displaystyle I}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle J.}$
9. Bestimme Punkt ${\displaystyle K}$ mithilfe eines nicht eingezeichneten Kreisbogens (Radius ${\displaystyle |JE|}$ um ${\displaystyle J}$, auf Linie durch ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle D}$ so, dass ${\displaystyle {\overline {JK}}=|JE|.}$
10. Linie ab ${\displaystyle J}$ durch ${\displaystyle K}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle L,}$ anschließend Linie ab ${\displaystyle L}$ bis ${\displaystyle O.}$

Hinweis: Die Punkte ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle J}$ liegen nicht auf der Strecke ${\displaystyle {\overline {LO}}.}$

11. Parallele zu ${\displaystyle {\overline {LO}}}$ ab ${\displaystyle D}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle M.}$
12. Bestimme Punkt ${\displaystyle N}$ mithilfe eines nicht eingezeichneten Kreisbogens (Radius ${\displaystyle {\overline {MD}}}$) um ${\displaystyle M}$, auf Linie durch ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle D}$ so, dass die werdende Strecke ${\displaystyle {\overline {MN}}={\overline {MD}}.}$
13. Linie ab ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle N}$ erreicht Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle P.}$
14. Bestimme Punkt ${\displaystyle Q}$ so, dass Winkel ${\displaystyle POQ=30^{\circ }.}$
15. Bestimme Punkt ${\displaystyle R}$ durch Verdoppelung des Kreisbogens ${\displaystyle OAQ}$ und verbinde ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle R.}$

• Der konstruierte Winkel ${\displaystyle AOR=\beta }$ ist nahezu gleich zwei Drittel des Winkels ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$, d. h. nahezu ${\displaystyle 40^{\circ }.}$

Ergebnis, bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Seitenlänge}}\qquad a&=&&0{,}684040286651337\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -a_{SOLL}&=-&&0{,}684040286651337\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}$

Beispiel zur Verdeutlichung des Fehlers

• Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge a des Neunecks < 1 mm.

Construction

(See also the animation)

1. Circle ${\displaystyle k_{1}}$ with any radius ${\displaystyle r={\overline {OA}}}$ around centre ${\displaystyle O.}$
2. Angle leg ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ and angle leg ${\displaystyle {\overline {OB}}}$ enclose angle ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$ at vertex ${\displaystyle O}$.
3. Circle ${\displaystyle k_{2}}$ around ${\displaystyle O}$ with radius ${\displaystyle {\overline {OC}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}}$; the extension of the angle leg ${\displaystyle {\overline {BO}}}$ intersects circle ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle D.}$.
4. Diameter ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ of circle ${\displaystyle k_{2}}$ with ${\displaystyle \angle {EOA=45^{\circ }}.}$
5. Determine point ${\displaystyle G}$ on circle ${\displaystyle k_{2}}$ such that ${\displaystyle |EG|={\overline {EO}}.}$
6. Bisect the line segment ${\displaystyle {\overline {OF}}}$ in ${\displaystyle H}$, the subsequent, not drawn, median perpendicular of ${\displaystyle |GH|}$ intersects ${\displaystyle {\overline {OE}}}$ in ${\displaystyle I,}$ gives ${\displaystyle |IG|={\overline {IH}}.}$
7. Line through ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle D}$; their ends are close to circle ${\displaystyle k_{1}.}$.
8. Parallel to ${\displaystyle {\overline {ED}}}$ from ${\displaystyle I}$ reaches circle ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle J.}$
9. Determine point ${\displaystyle K}$ using an undrawn arc of a circle (radius ${\displaystyle |JE|}$ around ${\displaystyle J}$, on the line through ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle D}$ such that ${\displaystyle {\overline {JK}}=|JE|.}$
10. Line from ${\displaystyle J}$ through ${\displaystyle K}$ reaches circle ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle L,}$ then line from ${\displaystyle L}$ to ${\displaystyle O.}$

Note: The points ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle J}$ are not on the line ${\displaystyle {\overline {LO}}.}$

11. Parallel to ${\displaystyle {\overline {LO}}}$ from ${\displaystyle D}$ reaches circle ${\displaystyle k_{2}}$ in ${\displaystyle M.}$
12. Determine point ${\displaystyle N}$ using an undrawn arc of a circle (radius ${\displaystyle {\overline {MD}}}$) around ${\displaystyle M}$, on the line through ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle D}$ such that the becoming distance is ${\displaystyle {\overline {MN}}={\overline {MD}}.}$
13. Line from ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle N}$ reaches circle ${\displaystyle k_{1}}$ in ${\displaystyle P.}$
14. Determine point ${\displaystyle Q}$ such that angle ${\displaystyle POQ=30^{\circ }.}$
15. Determine point ${\displaystyle R}$ by doubling arc of a circle ${\displaystyle OAQ}$ and connect ${\displaystyle O}$ with ${\displaystyle R.}$

• The constructed angle ${\displaystyle AOR=\beta }$ is nearly equal to two thirds of the angle ${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$, i.e. nearly ${\displaystyle 40^{\circ }.}$

Result, related to the unit circle r = 1 [LE]

In GeoGebra, max. 15 decimal places are displayed.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{side length constructed in GeoGebra}}\qquad a&=&&0.684040286651337\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{setpoint}}\qquad -a_{setpoint}&=-&&0.684040286651337\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absolute error in GeoGebra cannot be evaluated }}\qquad F&=&&0.000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}$

Example to illustrate the error

• For a radius r = 1 billion km (the light would need approx. 56 min for this distance) the error of the constructed side length a of the neuneck would be < 1 mm.