Beschreibung

Beschreibung01 Würfelhalbierung-1.svg	English: Halving the cube, neusis construction of edge length ${\displaystyle b\cdot {\tfrac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ of a cube which has exactly half the volume of the given cube. Almost the same as the Newton doubling the cube principle according to newton. Deutsch: Würfelhalbierung, Neusis-Konstruktion der Kantenlänge ${\displaystyle b\cdot {\tfrac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ eines Würfels, der exakt das halbe Volumen des Ausgangswürfel hat. Nahezu gleich dem Prinzip Würfelverdoppelung nach Newton.
Datum	16. November 2021
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen
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Beweis

Behauptung

Im obigen Bild teilt das gefällte Lot von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle {\overline {KY}}}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle D}$ das Dreieck ${\displaystyle CKY}$ so, dass die Strecke ${\displaystyle {\overline {DK}}}$ die gesuchte Länge ${\displaystyle b\cdot {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ [LE] erzeugt.

Beweisführung

(Hierzu die nebenstehende Berechnungsskizze)

Die Verbindung ${\displaystyle {\overline {XD}}}$ teilt das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle KEX}$ in die Dreiecke ${\displaystyle DEX}$ und ${\displaystyle KDX.}$

• Für die Behauptung ${\displaystyle {\overline {DK}}=q={\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ ist zu beweisen:

Beide Dreiecke haben die gemeinsame Höhe (Kathete) ${\displaystyle h_{c}}$.

Im Dreieck ${\displaystyle KEX}$ sind:

${\displaystyle b=1;\;\;c={\sqrt[{3}]{2}}}$,

angenommen wird

${\displaystyle p={\sqrt[{3}]{2}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}};\;\;q={\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$.

Dreieck ${\displaystyle KEX}$

Nach Pythagoras gilt

  ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

mit eingesetzten Werten

(1) ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {{\sqrt[{3}]{2}}^{2}-1}}}$

Dreieck ${\displaystyle DEX}$

Nach Pythagoras gilt

  ${\displaystyle h_{c}={\sqrt {a_{1}^{2}-p^{2}}}}$

mit eingesetzten Werten

(2) ${\displaystyle h_{c}={\sqrt {{\sqrt {{\sqrt[{3}]{2}}^{2}-1}}^{2}-\left({\sqrt[{3}]{2}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {1-{\frac {1}{2^{2/3}}}}}}$^[1]

Dreieck ${\displaystyle KDX}$

Nach Pythagoras gilt

  ${\displaystyle h_{c}={\sqrt {b^{2}-q^{2}}}}$

mit eingesetzten Werten

(3) ${\displaystyle h_{c}={\sqrt {1-\left({\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {1-{\frac {1}{2^{2/3}}}}}}$^[2]

Daraus folgt

(2) ${\displaystyle h_{c}={\sqrt {1-{\frac {1}{2^{2/3}}}}}=(3)\;h_{c}={\sqrt {1-{\frac {1}{2^{2/3}}}}}}$

Was zu beweisen war.

Vergleich der Volumina

Mit der Kantenlänge ${\displaystyle b=1}$ des Ausgangswürfels ${\displaystyle W_{1}}$ gilt

${\displaystyle V_{W_{1}}=1^{3}\;[VE],}$

mit der Kantenlänge ${\displaystyle {\overline {DK}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$ des konstruierten Würfels ${\displaystyle W_{2}}$ gilt

${\displaystyle V_{W_{2}}=\left({\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{2}}\;[VE].}$

Somit kann der Würfel ${\displaystyle W_{2}}$ mithilfe der konstruierten Würfelkantenlänge ${\displaystyle b\cdot {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}}$, als exakte Halbierung des Ausgangswürfels ${\displaystyle W_{1}}$ dargestellt werden.

Ergebnisnachweise

1. ↑ Ergebnis von (2) auf wolframalpha.com.
2. ↑ Ergebnis von (3) auf wolframalpha.com.

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