Hilbertscher Basissatz

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Der Hilbertsche Basissatz (nach David Hilbert)[1] ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie, er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form:

  • Ist ein noetherscher Ring, so ist jeder Polynomring mit Koeffizienten in noethersch.[2][3]

Da die Algebren endlichen Typs genau die Quotientenringe von Polynomringen sind, ist diese Aussage äquivalent zu:

  • Ist ein noetherscher Ring und eine -Algebra endlichen Typs, so ist auch noethersch.

Die (bis auf den Sprachgebrauch) 1888 von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des Körpers:

  • Der Polynomring über einem Körper ist noethersch.

Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines für einen Körper durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen.

Formaler: Sei eine beliebige Menge von Polynomen mit der Menge der gemeinsamen Nullstellen (auch Verschwindungsmenge von genannt):

Dann gibt es endlich viele , so dass gilt

.

Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die Zariski-Topologie eine Topologie ist.

Einzelnachweise

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  1. Hilbert, Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen, Band 36, 1890, S. 473–534
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, §2, Satz 2.3 (sehr kurzer Beweis)
  3. B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, §115