O-minimale Struktur

In der Mathematik sind o-minimale Strukturen eine Axiomatisierung und Verallgemeinerung der Eigenschaften semialgebraischer Mengen. Die Elemente einer o-minimalen Struktur heißen definierbare Mengen und sie haben viele Eigenschaften mit semialgebraischen Mengen gemeinsam. Zum Beispiel haben sie nur endlich viele Zusammenhangskomponenten.

Definition

Eine Folge $\chi _{n}$ von Familien von Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine o-minimale Struktur, wenn

• sie unter den mengentheoretischen Operationen eine Boolesche Algebra bildet,
• $\chi _{n}$ alle semialgebraischen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ enthält,
• aus $A\in \chi _{n}$ und $B\in \chi _{m}$ folgt $A\times B\in \chi _{n+m}$,
• aus $m\geq n$ und $A\in \chi _{m}$ folgt $\pi (A)\in \chi _{n}$ für die Projektion $\pi$ auf die ersten $n$ Koordinaten,
• für alle $A\in \chi _{1}$ der Rand von $A$ eine endliche Menge ist.

Beispiele

• Die semialgebraischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur.
• Die subanalytischen Mengen bilden keine o-minimale Struktur.
• Die global subanalytischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur $\mathbb {R} _{an}$.
• Die Menge der Teilmengen $X=\pi (f^{-1}(0))\subset \mathbb {R} ^{n}$ für $f(x_{1},\ldots ,x_{m})=Q(x_{1},\ldots ,x_{m},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{m}})$ mit einem Polynom $Q\in \mathbb {R} \left[X_{1},\ldots ,X_{2m}\right]$ und der Projektion $\pi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ auf die ersten $n$ Koordinaten ist eine o-minimale Struktur $\mathbb {R} _{exp}$.
• Die Vereinigung $\mathbb {R} _{an,exp}:=\mathbb {R} _{an}\cup \mathbb {R} _{exp}$ ist eine o-minimale Struktur.

Literatur

• Lou van den Dries: Tame topology and o-minimal structures. London Mathematical Society Lecture Note Series 248. Cambridge University Press (1998)

Weblinks

• o-minimal structure (nLab)