Trigonalisierbare Matrix

Eine trigonalisierbare Matrix ist in der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Für eine trigonalisierbare Matrix $A$ existiert also eine reguläre Matrix $S$ , sodass $D=S^{-1}AS$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Als trigonalisierbaren Endomorphismus bezeichnet man entsprechend einen Endomorphismus $f\colon V\to V$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ , falls es eine Basis $B$ von $V$ gibt, sodass die Darstellungsmatrix $M_{B}(f)$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine quadratische Matrix $A\in K^{n\times n}$ heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix $S\in K^{n\times n}$ , sodass $D:=S^{-1}AS$ eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass $D$ die Form

D=S^{-1}AS={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\ast &\cdots &\ast \\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ast \\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n\times n}

hat, wobei $\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K$ Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus $f\colon V\to V$ über einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis $B$ von $V$ gibt, sodass die Darstellungsmatrix $M_{B}(f)$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

Die Matrix $A$ ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existieren eine obere Dreiecksmatrix $D$ und eine invertierbare Matrix $P$ mit $D=P^{-1}AP$ .
Das charakteristische Polynom der Matrix $A$ zerfällt über dem Körper $K$ in Linearfaktoren.
Das Minimalpolynom der Matrix $A$ zerfällt über dem Körper $K$ in Linearfaktoren.
Die Matrix $A$ besitzt über dem Körper $K$ eine Jordan-Normalform.

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über $\mathbb {C}$ trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix $D$ zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix $P$ , mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

D=P^{-1}AP

Des Weiteren haben $A$ und $D$ dieselben Eigenwerte.

Da das charakteristische Polynom von $A$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert $\lambda _{1}$ und einen zugehörigen Eigenvektor $v_{1}$ . Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ des $K^{n}$ ergänzt. Die Matrix $T_{1}$ sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich $T_{1}^{-1}AT_{1}$ berechnen und die Form

T_{1}^{-1}AT_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&d_{1,2}&\cdots &d_{1,n}\\0&&&\\\vdots &&A_{1}&\\0&&&\end{pmatrix}}

Für das charakteristische Polynom der $(n-1)\times (n-1)$ -Matrix $A_{1}$ gilt $p_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})p_{A_{1}}$ . Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und $A_{1}$ ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man $A_{n-1}=d_{n,n}$ berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix $D$ . Die Matrix $P$ ergibt sich als Produkt $T_{1}T_{2}\dots T_{n-1}$ der Basiswechselmatrizen.