(101,25,6)-Blockplan

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Der (101,25,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 101×101-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 25 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 101, k = 25, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 101, k = 25, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 101 Blöcken und 101 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 25 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 25 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

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Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(101,25,6)-Blockplan[1]. Diese Lösung ist:

  • Lösung 1 mit der Signatur 101·100. Sie enthält 25250 Ovale der Ordnung 3.

Liste der Blöcke

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Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
  1   5  16  19  24  25  31  36  37  52  54  56  58  68  71  78  79  80  81  84  87  88  92  95  97
  2   6  17  20  25  26  32  37  38  53  55  57  59  69  72  79  80  81  82  85  88  89  93  96  98
  3   7  18  21  26  27  33  38  39  54  56  58  60  70  73  80  81  82  83  86  89  90  94  97  99
  4   8  19  22  27  28  34  39  40  55  57  59  61  71  74  81  82  83  84  87  90  91  95  98 100
  5   9  20  23  28  29  35  40  41  56  58  60  62  72  75  82  83  84  85  88  91  92  96  99 101
  1   6  10  21  24  29  30  36  41  42  57  59  61  63  73  76  83  84  85  86  89  92  93  97 100
  2   7  11  22  25  30  31  37  42  43  58  60  62  64  74  77  84  85  86  87  90  93  94  98 101
  1   3   8  12  23  26  31  32  38  43  44  59  61  63  65  75  78  85  86  87  88  91  94  95  99
  2   4   9  13  24  27  32  33  39  44  45  60  62  64  66  76  79  86  87  88  89  92  95  96 100
  3   5  10  14  25  28  33  34  40  45  46  61  63  65  67  77  80  87  88  89  90  93  96  97 101
  1   4   6  11  15  26  29  34  35  41  46  47  62  64  66  68  78  81  88  89  90  91  94  97  98
  2   5   7  12  16  27  30  35  36  42  47  48  63  65  67  69  79  82  89  90  91  92  95  98  99
  3   6   8  13  17  28  31  36  37  43  48  49  64  66  68  70  80  83  90  91  92  93  96  99 100
  4   7   9  14  18  29  32  37  38  44  49  50  65  67  69  71  81  84  91  92  93  94  97 100 101
  1   5   8  10  15  19  30  33  38  39  45  50  51  66  68  70  72  82  85  92  93  94  95  98 101
  1   2   6   9  11  16  20  31  34  39  40  46  51  52  67  69  71  73  83  86  93  94  95  96  99
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  1   2   3   6   9  10  14  17  19  24  28  39  42  47  48  54  59  60  75  77  79  81  91  94 101
  1   2   3   4   7  10  11  15  18  20  25  29  40  43  48  49  55  60  61  76  78  80  82  92  95
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  4   9  10  25  27  29  31  41  44  51  52  53  54  57  60  61  65  68  70  75  79  90  93  98  99
  5  10  11  26  28  30  32  42  45  52  53  54  55  58  61  62  66  69  71  76  80  91  94  99 100
  6  11  12  27  29  31  33  43  46  53  54  55  56  59  62  63  67  70  72  77  81  92  95 100 101
  1   7  12  13  28  30  32  34  44  47  54  55  56  57  60  63  64  68  71  73  78  82  93  96 101
  1   2   8  13  14  29  31  33  35  45  48  55  56  57  58  61  64  65  69  72  74  79  83  94  97
  2   3   9  14  15  30  32  34  36  46  49  56  57  58  59  62  65  66  70  73  75  80  84  95  98
  3   4  10  15  16  31  33  35  37  47  50  57  58  59  60  63  66  67  71  74  76  81  85  96  99
  4   5  11  16  17  32  34  36  38  48  51  58  59  60  61  64  67  68  72  75  77  82  86  97 100
  5   6  12  17  18  33  35  37  39  49  52  59  60  61  62  65  68  69  73  76  78  83  87  98 101
  1   6   7  13  18  19  34  36  38  40  50  53  60  61  62  63  66  69  70  74  77  79  84  88  99
  2   7   8  14  19  20  35  37  39  41  51  54  61  62  63  64  67  70  71  75  78  80  85  89 100
  3   8   9  15  20  21  36  38  40  42  52  55  62  63  64  65  68  71  72  76  79  81  86  90 101
  1   4   9  10  16  21  22  37  39  41  43  53  56  63  64  65  66  69  72  73  77  80  82  87  91
  2   5  10  11  17  22  23  38  40  42  44  54  57  64  65  66  67  70  73  74  78  81  83  88  92
  3   6  11  12  18  23  24  39  41  43  45  55  58  65  66  67  68  71  74  75  79  82  84  89  93
  4   7  12  13  19  24  25  40  42  44  46  56  59  66  67  68  69  72  75  76  80  83  85  90  94
  5   8  13  14  20  25  26  41  43  45  47  57  60  67  68  69  70  73  76  77  81  84  86  91  95
  6   9  14  15  21  26  27  42  44  46  48  58  61  68  69  70  71  74  77  78  82  85  87  92  96
  7  10  15  16  22  27  28  43  45  47  49  59  62  69  70  71  72  75  78  79  83  86  88  93  97
  8  11  16  17  23  28  29  44  46  48  50  60  63  70  71  72  73  76  79  80  84  87  89  94  98
  9  12  17  18  24  29  30  45  47  49  51  61  64  71  72  73  74  77  80  81  85  88  90  95  99
 10  13  18  19  25  30  31  46  48  50  52  62  65  72  73  74  75  78  81  82  86  89  91  96 100
 11  14  19  20  26  31  32  47  49  51  53  63  66  73  74  75  76  79  82  83  87  90  92  97 101
  1  12  15  20  21  27  32  33  48  50  52  54  64  67  74  75  76  77  80  83  84  88  91  93  98
  2  13  16  21  22  28  33  34  49  51  53  55  65  68  75  76  77  78  81  84  85  89  92  94  99
  3  14  17  22  23  29  34  35  50  52  54  56  66  69  76  77  78  79  82  85  86  90  93  95 100
  4  15  18  23  24  30  35  36  51  53  55  57  67  70  77  78  79  80  83  86  87  91  94  96 101

Zyklische Darstellung

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Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

  • Lösung 1
  1   5  16  19  24  25  31  36  37  52  54  56  58  68  71  78  79  80  81  84  87  88  92  95  97

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für Lösung 1 dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   2  12

Einzelnachweise

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  1. Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.