(109,28,7)-Blockplan

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Der (109,28,7)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 109×109-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 28 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 7 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 109, k = 28, λ = 7), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 109, k = 28, λ = 7 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 109 Blöcken und 109 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 28 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 7 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 28 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 7 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

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Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(109,28,7)-Blockplan[1]. Diese Lösung ist:

  • Lösung 1 mit der Signatur 109·216. Sie enthält 12753 Ovale der Ordnung 3.

Liste der Blöcke

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Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
  1   2   4   6   8  10  16  17  22  23  26  27  28  36  39  46  49  50  64  67  74  76  79  81  82  90  98 106
  2   3   5   7   9  11  17  18  23  24  27  28  29  37  40  47  50  51  65  68  75  77  80  82  83  91  99 107
  3   4   6   8  10  12  18  19  24  25  28  29  30  38  41  48  51  52  66  69  76  78  81  83  84  92 100 108
  4   5   7   9  11  13  19  20  25  26  29  30  31  39  42  49  52  53  67  70  77  79  82  84  85  93 101 109
  1   5   6   8  10  12  14  20  21  26  27  30  31  32  40  43  50  53  54  68  71  78  80  83  85  86  94 102
  2   6   7   9  11  13  15  21  22  27  28  31  32  33  41  44  51  54  55  69  72  79  81  84  86  87  95 103
  3   7   8  10  12  14  16  22  23  28  29  32  33  34  42  45  52  55  56  70  73  80  82  85  87  88  96 104
  4   8   9  11  13  15  17  23  24  29  30  33  34  35  43  46  53  56  57  71  74  81  83  86  88  89  97 105
  5   9  10  12  14  16  18  24  25  30  31  34  35  36  44  47  54  57  58  72  75  82  84  87  89  90  98 106
  6  10  11  13  15  17  19  25  26  31  32  35  36  37  45  48  55  58  59  73  76  83  85  88  90  91  99 107
  7  11  12  14  16  18  20  26  27  32  33  36  37  38  46  49  56  59  60  74  77  84  86  89  91  92 100 108
  8  12  13  15  17  19  21  27  28  33  34  37  38  39  47  50  57  60  61  75  78  85  87  90  92  93 101 109
  1   9  13  14  16  18  20  22  28  29  34  35  38  39  40  48  51  58  61  62  76  79  86  88  91  93  94 102
  2  10  14  15  17  19  21  23  29  30  35  36  39  40  41  49  52  59  62  63  77  80  87  89  92  94  95 103
  3  11  15  16  18  20  22  24  30  31  36  37  40  41  42  50  53  60  63  64  78  81  88  90  93  95  96 104
  4  12  16  17  19  21  23  25  31  32  37  38  41  42  43  51  54  61  64  65  79  82  89  91  94  96  97 105
  5  13  17  18  20  22  24  26  32  33  38  39  42  43  44  52  55  62  65  66  80  83  90  92  95  97  98 106
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  8  16  20  21  23  25  27  29  35  36  41  42  45  46  47  55  58  65  68  69  83  86  93  95  98 100 101 109
  1   9  17  21  22  24  26  28  30  36  37  42  43  46  47  48  56  59  66  69  70  84  87  94  96  99 101 102
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  5  13  21  25  26  28  30  32  34  40  41  46  47  50  51  52  60  63  70  73  74  88  91  98 100 103 105 106
  6  14  22  26  27  29  31  33  35  41  42  47  48  51  52  53  61  64  71  74  75  89  92  99 101 104 106 107
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  5   8   9  23  26  33  35  38  40  41  49  57  65  69  70  72  74  76  78  84  85  90  91  94  95  96 104 107
  6   9  10  24  27  34  36  39  41  42  50  58  66  70  71  73  75  77  79  85  86  91  92  95  96  97 105 108
  7  10  11  25  28  35  37  40  42  43  51  59  67  71  72  74  76  78  80  86  87  92  93  96  97  98 106 109
  1   8  11  12  26  29  36  38  41  43  44  52  60  68  72  73  75  77  79  81  87  88  93  94  97  98  99 107
  2   9  12  13  27  30  37  39  42  44  45  53  61  69  73  74  76  78  80  82  88  89  94  95  98  99 100 108
  3  10  13  14  28  31  38  40  43  45  46  54  62  70  74  75  77  79  81  83  89  90  95  96  99 100 101 109
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  2   5  12  15  16  30  33  40  42  45  47  48  56  64  72  76  77  79  81  83  85  91  92  97  98 101 102 103
  3   6  13  16  17  31  34  41  43  46  48  49  57  65  73  77  78  80  82  84  86  92  93  98  99 102 103 104
  4   7  14  17  18  32  35  42  44  47  49  50  58  66  74  78  79  81  83  85  87  93  94  99 100 103 104 105
  5   8  15  18  19  33  36  43  45  48  50  51  59  67  75  79  80  82  84  86  88  94  95 100 101 104 105 106
  6   9  16  19  20  34  37  44  46  49  51  52  60  68  76  80  81  83  85  87  89  95  96 101 102 105 106 107
  7  10  17  20  21  35  38  45  47  50  52  53  61  69  77  81  82  84  86  88  90  96  97 102 103 106 107 108
  8  11  18  21  22  36  39  46  48  51  53  54  62  70  78  82  83  85  87  89  91  97  98 103 104 107 108 109
  1   9  12  19  22  23  37  40  47  49  52  54  55  63  71  79  83  84  86  88  90  92  98  99 104 105 108 109
  1   2  10  13  20  23  24  38  41  48  50  53  55  56  64  72  80  84  85  87  89  91  93  99 100 105 106 109
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  2   3   4  12  15  22  25  26  40  43  50  52  55  57  58  66  74  82  86  87  89  91  93  95 101 102 107 108
  3   4   5  13  16  23  26  27  41  44  51  53  56  58  59  67  75  83  87  88  90  92  94  96 102 103 108 109
  1   4   5   6  14  17  24  27  28  42  45  52  54  57  59  60  68  76  84  88  89  91  93  95  97 103 104 109
  1   2   5   6   7  15  18  25  28  29  43  46  53  55  58  60  61  69  77  85  89  90  92  94  96  98 104 105
  2   3   6   7   8  16  19  26  29  30  44  47  54  56  59  61  62  70  78  86  90  91  93  95  97  99 105 106
  3   4   7   8   9  17  20  27  30  31  45  48  55  57  60  62  63  71  79  87  91  92  94  96  98 100 106 107
  4   5   8   9  10  18  21  28  31  32  46  49  56  58  61  63  64  72  80  88  92  93  95  97  99 101 107 108
  5   6   9  10  11  19  22  29  32  33  47  50  57  59  62  64  65  73  81  89  93  94  96  98 100 102 108 109
  1   6   7  10  11  12  20  23  30  33  34  48  51  58  60  63  65  66  74  82  90  94  95  97  99 101 103 109
  1   2   7   8  11  12  13  21  24  31  34  35  49  52  59  61  64  66  67  75  83  91  95  96  98 100 102 104
  2   3   8   9  12  13  14  22  25  32  35  36  50  53  60  62  65  67  68  76  84  92  96  97  99 101 103 105
  3   4   9  10  13  14  15  23  26  33  36  37  51  54  61  63  66  68  69  77  85  93  97  98 100 102 104 106
  4   5  10  11  14  15  16  24  27  34  37  38  52  55  62  64  67  69  70  78  86  94  98  99 101 103 105 107
  5   6  11  12  15  16  17  25  28  35  38  39  53  56  63  65  68  70  71  79  87  95  99 100 102 104 106 108
  6   7  12  13  16  17  18  26  29  36  39  40  54  57  64  66  69  71  72  80  88  96 100 101 103 105 107 109
  1   7   8  13  14  17  18  19  27  30  37  40  41  55  58  65  67  70  72  73  81  89  97 101 102 104 106 108
  2   8   9  14  15  18  19  20  28  31  38  41  42  56  59  66  68  71  73  74  82  90  98 102 103 105 107 109
  1   3   9  10  15  16  19  20  21  29  32  39  42  43  57  60  67  69  72  74  75  83  91  99 103 104 106 108
  2   4  10  11  16  17  20  21  22  30  33  40  43  44  58  61  68  70  73  75  76  84  92 100 104 105 107 109
  1   3   5  11  12  17  18  21  22  23  31  34  41  44  45  59  62  69  71  74  76  77  85  93 101 105 106 108
  2   4   6  12  13  18  19  22  23  24  32  35  42  45  46  60  63  70  72  75  77  78  86  94 102 106 107 109
  1   3   5   7  13  14  19  20  23  24  25  33  36  43  46  47  61  64  71  73  76  78  79  87  95 103 107 108
  2   4   6   8  14  15  20  21  24  25  26  34  37  44  47  48  62  65  72  74  77  79  80  88  96 104 108 109
  1   3   5   7   9  15  16  21  22  25  26  27  35  38  45  48  49  63  66  73  75  78  80  81  89  97 105 109

Zyklische Darstellung

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Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

  • Lösung 1
  1   2   4   6   8  10  16  17  22  23  26  27  28  36  39  46  49  50  64  67  74  76  79  81  82  90  98 106

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   2   9

Einzelnachweise

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  1. Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.