(41,16,6)-Blockplan

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Der (41,16,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 41 × 41 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 16 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 41, k = 16, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 41, k = 16, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 41 Blöcken und 41 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 16 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 16 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

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Es existieren mindestens 115307 nichtisomorphe 2-(41,16,6) - Blockpläne[1][2]. Zwei dieser Lösungen sind:

  • Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 15·27, 15·33, 5·36, 5·39, 1·45. Sie enthält 235 Ovale der Ordnung 3.
  • Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 20·3, 1·30, 5·33, 15·34. Sie enthält 160 Ovale der Ordnung 3.

Liste der Blöcke

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Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  41
  4   6   7  13  15  16  21  27  28  29  30  31  32  36  38  41
  5   7   8  11  14  17  22  26  28  29  30  32  33  37  39  41
  1   8   9  12  15  18  23  26  27  29  30  33  34  38  40  41
  2   9  10  11  13  19  24  26  27  28  30  34  35  36  39  41
  3   6  10  12  14  20  25  26  27  28  29  31  35  37  40  41
  3   5   9  11  12  17  18  19  20  21  26  31  32  36  38  41
  1   4  10  12  13  16  18  19  20  22  27  32  33  37  39  41
  2   5   6  13  14  16  17  19  20  23  28  33  34  38  40  41
  1   3   7  14  15  16  17  18  20  24  29  34  35  36  39  41
  2   4   8  11  15  16  17  18  19  25  30  31  35  37  40  41
  1   2   8  10  14  16  22  23  24  25  26  31  32  36  38  41
  2   3   6   9  15  17  21  23  24  25  27  32  33  37  39  41
  3   4   7  10  11  18  21  22  24  25  28  33  34  38  40  41
  4   5   6   8  12  19  21  22  23  25  29  34  35  36  39  41
  1   5   7   9  13  20  21  22  23  24  30  31  35  37  40  41
  6   7   9  13  14  15  18  19  22  25  26  31  32  34  39  40
  7   8  10  11  14  15  19  20  21  23  27  32  33  35  36  40
  6   8   9  11  12  15  16  20  22  24  28  31  33  34  36  37
  7   9  10  11  12  13  16  17  23  25  29  32  34  35  37  38
  6   8  10  12  13  14  17  18  21  24  30  31  33  35  38  39
  3   4   5  11  12  14  16  23  24  27  30  31  32  34  39  40
  1   4   5  12  13  15  17  24  25  26  28  32  33  35  36  40
  1   2   5  11  13  14  18  21  25  27  29  31  33  34  36  37
  1   2   3  12  14  15  19  21  22  28  30  32  34  35  37  38
  2   3   4  11  13  15  20  22  23  26  29  31  33  35  38  39
  1   2   4   8   9  10  17  20  21  28  29  31  32  34  39  40
  2   3   5   6   9  10  16  18  22  29  30  32  33  35  36  40
  1   3   4   6   7  10  17  19  23  26  30  31  33  34  36  37
  2   4   5   6   7   8  18  20  24  26  27  32  34  35  37  38
  1   3   5   7   8   9  16  19  25  27  28  31  33  35  38  39
  1   3   6   8  11  13  18  19  20  23  24  25  28  29  30  32
  2   4   7   9  12  14  16  19  20  21  24  25  26  29  30  33
  3   5   8  10  13  15  16  17  20  21  22  25  26  27  30  34
  1   4   6   9  11  14  16  17  18  21  22  23  26  27  28  35
  2   5   7  10  12  15  17  18  19  22  23  24  27  28  29  31
  1   2   6   7  11  12  17  20  22  25  27  30  36  38  39  40
  2   3   7   8  12  13  16  18  21  23  26  28  36  37  39  40
  3   4   8   9  13  14  17  19  22  24  27  29  36  37  38  40
  4   5   9  10  14  15  18  20  23  25  28  30  36  37  38  39
  1   5   6  10  11  15  16  19  21  24  26  29  37  38  39  40
  • Lösung 2
  1   4   8  10  12  16  23  24  25  27  29  31  32  35  37  41
  1   5   9  11  12  13  24  25  26  27  28  30  33  36  37  38
  1   6   7  10  13  14  22  25  26  28  29  31  32  34  38  39
  1   2   8  11  14  15  22  23  26  27  29  30  33  35  39  40
  1   3   7   9  15  16  22  23  24  28  30  31  34  36  40  41
  1   2   6   9  13  15  17  19  21  28  29  30  32  35  37  41
  1   2   3  10  14  16  17  18  20  29  30  31  33  36  37  38
  1   3   4  11  12  15  18  19  21  27  30  31  32  34  38  39
  1   4   5   7  13  16  17  19  20  27  28  31  33  35  39  40
  1   5   6   8  12  14  18  20  21  27  28  29  34  36  40  41
  1   3   5   7  11  14  18  19  20  22  24  26  32  35  37  41
  1   4   6   7   8  15  19  20  21  22  23  25  33  36  37  38
  1   2   5   8   9  16  17  20  21  23  24  26  32  34  38  39
  1   3   6   9  10  12  17  18  21  22  24  25  33  35  39  40
  1   2   4  10  11  13  17  18  19  23  25  26  34  36  40  41
  2   8   9  10  11  12  19  20  22  28  31  33  34  35  38  41
  3   7   9  10  11  13  20  21  23  27  29  34  35  36  37  39
  4   7   8  10  11  14  17  21  24  28  30  32  35  36  38  40
  5   7   8   9  11  15  17  18  25  29  31  32  33  36  39  41
  6   7   8   9  10  16  18  19  26  27  30  32  33  34  37  40
  2   7  13  14  15  16  18  21  24  25  27  33  34  35  38  41
  3   8  12  14  15  16  17  19  25  26  28  34  35  36  37  39
  4   9  12  13  15  16  18  20  22  26  29  32  35  36  38  40
  5  10  12  13  14  16  19  21  22  23  30  32  33  36  39  41
  6  11  12  13  14  15  17  20  23  24  31  32  33  34  37  40
  3   4   5   6   7  12  17  23  26  29  30  33  34  35  38  41
  2   4   5   6   8  13  18  22  24  30  31  34  35  36  37  39
  2   3   5   6   9  14  19  23  25  27  31  32  35  36  38  40
  2   3   4   6  10  15  20  24  26  27  28  32  33  36  39  41
  2   3   4   5  11  16  21  22  25  28  29  32  33  34  37  40
  2   6   7  11  12  16  17  19  21  22  24  26  27  29  31  36
  2   3   7   8  12  13  17  18  20  22  23  25  27  28  30  32
  3   4   8   9  13  14  18  19  21  23  24  26  28  29  31  33
  4   5   9  10  14  15  17  19  20  22  24  25  27  29  30  34
  5   6  10  11  15  16  18  20  21  23  25  26  28  30  31  35
  2   5   7  10  12  15  18  19  23  24  28  29  37  38  39  40
  3   6   8  11  13  16  19  20  24  25  29  30  38  39  40  41
  2   4   7   9  12  14  20  21  25  26  30  31  37  39  40  41
  3   5   8  10  13  15  17  21  22  26  27  31  37  38  40  41
  4   6   9  11  14  16  17  18  22  23  27  28  37  38  39  41
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O
. . . O . O O . . . . . O . O O . . . . O . . . . . O O O O O O . . . O . O . . O
. . . . O . O O . . O . . O . . O . . . . O . . . O . O O O . O O . . . O . O . O
O . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . O . . O O . O O . . O O . . . O . O O
. O . . . . . . O O O . O . . . . . O . . . . O . O O O . O . . . O O O . . O . O
. . O . . O . . . O . O . O . . . . . O . . . . O O O O O . O . . . O . O . . O O
. . O . O . . . O . O O . . . . O O O O O . . . . O . . . . O O . . . O . O . . O
O . . O . . . . . O . O O . . O . O O O . O . . . . O . . . . O O . . . O . O . O
. O . . O O . . . . . . O O . O O . O O . . O . . . . O . . . . O O . . . O . O O
O . O . . . O . . . . . . O O O O O . O . . . O . . . . O . . . . O O O . . O . O
. O . O . . . O . . O . . . O O O O O . . . . . O . . . . O O . . . O . O . . O O
O O . . . . . O . O . . . O . O . . . . . O O O O O . . . . O O . . . O . O . . O
. O O . . O . . O . . . . . O . O . . . O . O O O . O . . . . O O . . . O . O . O
. . O O . . O . . O O . . . . . . O . . O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O O
. . . O O O . O . . . O . . . . . . O . O O O . O . . . O . . . . O O O . . O . O
O . . . O . O . O . . . O . . . . . . O O O O O . . . . . O O . . . O . O . . O O
. . . . . O O . O . . . O O O . . O O . . O . . O O . . . . O O . O . . . . O O .
. . . . . . O O . O O . . O O . . . O O O . O . . . O . . . . O O . O O . . . O .
. . . . . O . O O . O O . . O O . . . O . O . O . . . O . . O . O O . O O . . . .
. . . . . . O . O O O O O . . O O . . . . . O . O . . . O . . O . O O . O O . . .
. . . . . O . O . O . O O O . . O O . . O . . O . . . . . O O . O . O . . O O . .
. . O O O . . . . . O O . O . O . . . . . . O O . . O . . O O O . O . . . . O O .
O . . O O . . . . . . O O . O . O . . . . . . O O O . O . . . O O . O O . . . O .
O O . . O . . . . . O . O O . . . O . . O . . . O . O . O . O . O O . O O . . . .
O O O . . . . . . . . O . O O . . . O . O O . . . . . O . O . O . O O . O O . . .
. O O O . . . . . . O . O . O . . . . O . O O . . O . . O . O . O . O . . O O . .
O O . O . . . O O O . . . . . . O . . O O . . . . . . O O . O O . O . . . . O O .
. O O . O O . . O O . . . . . O . O . . . O . . . . . . O O . O O . O O . . . O .
O . O O . O O . . O . . . . . . O . O . . . O . . O . . . O O . O O . O O . . . .
. O . O O O O O . . . . . . . . . O . O . . . O . O O . . . . O . O O . O O . . .
O . O . O . O O O . . . . . . O . . O . . . . . O . O O . . O . O . O . . O O . .
O . O . . O . O . . O . O . . . . O O O . . O O O . . O O O . O . . . . . . . . .
. O . O . . O . O . . O . O . O . . O O O . . O O O . . O O . . O . . . . . . . .
. . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . . O . . . O . . . . . . .
O . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . . . . . . O . . . . . .
. O . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . O . . . . . . . . . .
O O . . . O O . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . . O . . . . . O . O O O .
. O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . . O O . O O .
. . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . O O O . O .
. . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . O O O O . .
O . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . . . . . . . O O O O .
  • Lösung 2
O . . O . . . O . O . O . . . O . . . . . . O O O . O . O . O O . . O . O . . . O
O . . . O . . . O . O O O . . . . . . . . . . O O O O O . O . . O . . O O O . . .
O . . . . O O . . O . . O O . . . . . . . O . . O O . O O . O O . O . . . O O . .
O O . . . . . O . . O . . O O . . . . . . O O . . O O . O O . . O . O . . . O O .
O . O . . . O . O . . . . . O O . . . . . O O O . . . O . O O . . O . O . . . O O
O O . . . O . . O . . . O . O . O . O . O . . . . . . O O O . O . . O . O . . . O
O O O . . . . . . O . . . O . O O O . O . . . . . . . . O O O . O . . O O O . . .
O . O O . . . . . . O O . . O . . O O . O . . . . . O . . O O O . O . . . O O . .
O . . O O . O . . . . . O . . O O . O O . . . . . . O O . . O . O . O . . . O O .
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Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   3  40
  • Lösung 2
  1  32  33

Einzelnachweise

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  1. Tran van Trung: The existence of symmetric block designs with parameters (41,16,6) and (66,26,10). In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 33, Nr. 2, 1982, S. 201–204, doi:10.1016/0097-3165(82)90008-5.
  2. Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.