(61,16,4)-Blockplan
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Der (61,14,4)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 61 × 61 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 14 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 4 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 61, k = 14, λ = 4), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 61, k = 16, λ = 4 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 61 Blöcken und 61 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 16 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 4 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 16 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 4 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens sechs nichtisomorphe 2-(61,16,4) - Blockpläne[1][2][3][4][5]. Fünf dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 mit der Signatur 45·1, 15·5/18, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 45·1, 10·5/18, 5·5/54, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 3 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 45·1, 15·5/30, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 4 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 45·4, 16·5. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
- Lösung 5 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 60·1, 1·20. Sie enthält 54 Ovale der Ordnung 5.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 17 21 24 26 32 36 39 41 47 51 54 56 1 2 3 4 18 22 25 27 33 37 40 42 48 52 55 57 1 2 3 4 19 20 23 28 34 35 38 43 49 50 53 58 1 5 6 7 20 24 27 29 35 39 42 44 50 54 57 59 1 5 6 7 21 25 28 30 36 40 43 45 51 55 58 60 1 5 6 7 22 23 26 31 37 38 41 46 52 53 56 61 1 8 9 10 17 23 27 30 32 38 42 45 47 53 57 60 1 8 9 10 18 24 28 31 33 39 43 46 48 54 58 61 1 8 9 10 19 25 26 29 34 40 41 44 49 55 56 59 1 11 12 13 18 20 26 30 33 35 41 45 48 50 56 60 1 11 12 13 19 21 27 31 34 36 42 46 49 51 57 61 1 11 12 13 17 22 28 29 32 37 43 44 47 52 58 59 1 14 15 16 18 21 23 29 33 36 38 44 48 51 53 59 1 14 15 16 19 22 24 30 34 37 39 45 49 52 54 60 1 14 15 16 17 20 25 31 32 35 40 46 47 50 55 61 2 6 9 11 17 20 24 25 30 31 33 34 36 37 53 59 3 7 10 12 18 21 23 25 29 31 32 34 35 37 54 60 4 5 8 13 19 22 23 24 29 30 32 33 35 36 55 61 5 9 12 14 18 19 20 23 27 28 36 37 39 40 47 56 6 10 13 15 17 19 21 24 26 28 35 37 38 40 48 57 7 8 11 16 17 18 22 25 26 27 35 36 38 39 49 58 2 8 12 15 21 22 23 26 30 31 39 40 42 43 50 59 3 9 13 16 20 22 24 27 29 31 38 40 41 43 51 60 4 10 11 14 20 21 25 28 29 30 38 39 41 42 52 61 3 5 11 15 18 19 24 25 26 29 42 43 45 46 47 53 4 6 12 16 17 19 23 25 27 30 41 43 44 46 48 54 2 7 13 14 17 18 23 24 28 31 41 42 44 45 49 55 3 6 8 14 17 21 22 27 28 29 33 34 45 46 50 56 4 7 9 15 18 20 22 26 28 30 32 34 44 46 51 57 2 5 10 16 19 20 21 26 27 31 32 33 44 45 52 58 2 6 9 11 23 29 32 35 39 40 45 46 48 49 51 52 3 7 10 12 24 30 33 36 38 40 44 46 47 49 50 52 4 5 8 13 25 31 34 37 38 39 44 45 47 48 50 51 5 9 12 14 17 26 33 34 35 38 42 43 51 52 54 55 6 10 13 15 18 27 32 34 36 39 41 43 50 52 53 55 7 8 11 16 19 28 32 33 37 40 41 42 50 51 53 54 2 8 12 15 20 29 36 37 38 41 45 46 54 55 57 58 3 9 13 16 21 30 35 37 39 42 44 46 53 55 56 58 4 10 11 14 22 31 35 36 40 43 44 45 53 54 56 57 3 5 11 15 17 23 33 34 39 40 41 44 57 58 60 61 4 6 12 16 18 24 32 34 38 40 42 45 56 58 59 61 2 7 13 14 19 25 32 33 38 39 43 46 56 57 59 60 3 6 8 14 20 26 32 36 37 42 43 44 48 49 60 61 4 7 9 15 21 27 33 35 37 41 43 45 47 49 59 61 2 5 10 16 22 28 34 35 36 41 42 46 47 48 59 60 2 6 9 11 18 19 21 22 38 44 47 50 54 55 60 61 3 7 10 12 17 19 20 22 39 45 48 51 53 55 59 61 4 5 8 13 17 18 20 21 40 46 49 52 53 54 59 60 5 9 12 14 21 22 24 25 32 41 48 49 50 53 57 58 6 10 13 15 20 22 23 25 33 42 47 49 51 54 56 58 7 8 11 16 20 21 23 24 34 43 47 48 52 55 56 57 2 8 12 15 24 25 27 28 35 44 51 52 53 56 60 61 3 9 13 16 23 25 26 28 36 45 50 52 54 57 59 61 4 10 11 14 23 24 26 27 37 46 50 51 55 58 59 60 3 5 11 15 27 28 30 31 32 38 48 49 54 55 56 59 4 6 12 16 26 28 29 31 33 39 47 49 53 55 57 60 2 7 13 14 26 27 29 30 34 40 47 48 53 54 58 61 3 6 8 14 18 19 30 31 35 41 47 51 52 57 58 59 4 7 9 15 17 19 29 31 36 42 48 50 52 56 58 60 2 5 10 16 17 18 29 30 37 43 49 50 51 56 57 61
- Lösung 2
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- Lösung 3
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- Lösung 5
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Inzidenzmatrix
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O O . . . . . . O O O . . . . . . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . . 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- Lösung 2
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- Lösung 4
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Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
17 20 23 26 29
- Lösung 2
17 18 19 20 21
- Lösung 3
17 18 19 20 21
- Lösung 4
2 3 20 49 51
- Lösung 5
17 18 19 20 21
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Tran van Trung: A symmetric block design with parameters (61,16,4). In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 37, Nr. 3, 1984, S. 374, doi:10.1016/0097-3165(84)90061-X.
- ↑ Vladimir Ćepulić: The unique symmetric block design (61,16,4) admitting an automorphism of order 15 operating standardly. In: Discrete Mathematics. Bd. 175, Nr. 1/3, 1997, S. 259–263, doi:10.1016/S0012-365X(97)00065-4.
- ↑ Ivan Landjev, Svetlana Topalova: New Symmetric (61,16,4) Designs Invariant Under the Dihedral Group of Order 10. In: Serdica Mathematical Journal. Bd. 24, Nr. 2, 1998, S. 179–186.
- ↑ Vladimir Ćepulić: Symmetric block designs (61,16,4) admitting an automorphism of order 15. In: Glasnik Matematički. Bd. 55 = Series III, Bd. 35, Nr. 2, 2000, S. 233–244.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.