Abbildungskegel

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In dem mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Abbildungskegel eine Konstruktion, die einer stetigen Funktion zwischen zwei topologischen Räumen einen dritten solchen Raum zuordnet. Sie ist nah verwandt mit dem Konzept des Kegels über einem topologischen Raum; ebenso wie dieser wird der Abbildungskegel hauptsächlich in der algebraischen Topologie betrachtet. Allgemeiner gibt es in der homologischen Algebra den Abbildungskegel von Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen.

Der Abbildungskegel

Seien zwei topologische Räume und eine stetige Funktion zwischen diesen, sei weiter der Kegel über .

Den Abbildungskegel erhält man nun (wie in der Zeichnung angedeutet) durch Verkleben von und vermöge .

Genauer bedeutet dies:

Identifiziert man in der disjunkten Vereinigung jeweils mit für jedes , so ergibt sich implizit eine Äquivalenzrelation .

Der Abbildungskegel ist dann der Faktorraum versehen mit der Quotiententopologie bezüglich der kanonischen Projektion .

Reduzierter Abbildungskegel

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In der Kategorie der punktierten topologischen Räume - sind also punktiert und gilt  - betrachtet man meist den reduzierten Abbildungskegel . Dieser entsteht dadurch, dass man im Abbildungskegel auch noch das Intervall  - genauer sein Bild unter der Projektion  - identifiziert.

Analog kann bei der obigen Konstruktion des Abbildungskegels auch gleich vom reduzierten Kegel ausgegangen werden.

  • Der Raum ist in natürlicher Weise Teilraum von , da jeder seiner Punkte unter der Projektion erhalten bleibt.
  • Ist injektiv und relativ offen, also ein Homöomorphismus auf sein Bild, so sind auch und damit in enthalten.
  • Betrachtet man die Identität , so gilt die Homöomorphie .

Alle obigen Beziehungen gelten auch für den reduzierten Abbildungskegel im Falle punktierter Räume und und basispunkterhaltendem , gegebenenfalls muss dafür zum reduzierten Kegel übergegangen werden.

  • Ist die anklebende Abbildung in einem CW-Komplex an das -Skelett , so ist der Abbildungskegel homöomorph zum -Skelett .

Dies ist eine der Hauptanwendungen des Abbildungskegels in der algebraischen Topologie. Speziell für den reduzierten Abbildungskegel gilt außerdem:

  • Sind punktiert und konstant, so gilt , wobei die reduzierte Einhängung von und das Wedge-Produkt bezeichne.
  • Für einen wohlpunktierten Raum ist der reduzierte Abbildungskegel homotopieäquivalent zum normalen Abbildungskegel.
  • Eine Abbildung induziert einen Isomorphismus für eine Homologietheorie genau dann wenn .

Rolle in der Homotopietheorie

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Sind zwei stetige Abbildungen homotop, so sind ihre Abbildungskegel und homotopieäquivalent.

Wenn ein abgeschlossener Teilraum und die Inklusion eine Kofaserung ist, so ist homotopieäquivalent zum Quotientenraum . Es lässt sich außerdem zeigen, dass die Inklusion stets eine abgeschlossene Kofaserung ist. Somit erhält man, dass der Abbildungskegel homotopieäquivalent zu ist, wobei hier die Einhängung von bezeichne. Fährt man auf die gleiche Weise fort, so folgt, dass der Abbildungskegel der Inklusion von nach die Einhängung von ergibt usw.

Hat man weiter ein stetiges in einen topologischen Raum , so ist die Komposition genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn fortsetzbar ist zu einer Abbildung . Für den Fall, dass ist das Resultat noch etwas anschaulicher: eine Abbildung ist genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn sie fortsetzbar ist zu einer Abbildung . Um die Abbildung zu konstruieren, benutzt man einfach die Homotopie , die auf konstant ist.

Wenn man punktierte Räume und basispunkterhaltende Abbildungen betrachtet, bedeutet dies, dass die folgende Sequenz exakt ist:

Diese exakte Sequenz nennt man auch Puppe-Folge.

Abbildungskegel einer Kettenabbildung

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Seien zwei Kettenkomplexe mit Differentialen d. h.,

und entsprechend für

Für eine Kettenabbildung definiert man den Abbildungskegel oder als den Kettenkomplex:

mit Differential

.

Hierbei bezeichnet den Kettenkomplex mit und . Explizit berechnet sich das Differential wie folgt:

Wenn eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und die induzierte Kettenabbildung zwischen den singulären Kettenkomplexen ist, dann ist

.
  • Glen E. Bredon: Topology and Geometry. Revised 3rd printing. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-97926-3 (Graduate Texts in Mathematics 139).
  • Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Reprint of the 1975 edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).