Additives Funktional
In der Stochastik ist ein additives Funktional (AF) ein stochastischer Prozess, der sich von einem anderen stochastischen Prozess (üblicherweise ein Markow-Prozess bzw. Feller-Prozess) ableitet und eine bestimmte additive Eigenschaft erfüllt. Wenn der Prozess stetig ist, dann wird das stetige additive Funktional oft mit CAF abgekürzt.[1]
Additives Funktional
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein kanonischer Feller-Prozess mit Zustandsraum und assoziierter Endzeit . Weiter sei eine Filtration und ein Shift-Operator, d. h. für einen beliebigen Prozess .
Ein additives Funktional von ist ein nicht-absteigender und -adaptierter Prozess , so dass und sowie die additive Eigenschaft
erfüllt ist.
Erläuterungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die letzte Bedingung sollte man als
interpretieren.
Man kann und auch allgemeiner definieren, so dass nur die additive Eigenschaft erfüllt ist.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Sei eine einfache, messbare Funktion auf , dann wird der Prozess
- elementares additives Funktional genannt.
- Sei wie oben und ein stetiges additives Funktional, dann ist das stochastische Integral
- ein weiteres additives Funktional
- Die Lokalzeit eines Prozesses ist ein weiteres Beispiel.
Potential eines additiven Funktionals
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für ein stetiges additives Funktional und eine Konstante definieren wir das -Potential als
sowie für eine Funktion
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 661–685, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.
- Evgeny B. Dynkin: Transformations of Markov Processes Connected with Additive Functionals. In: Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob. 1961, S. 117–142 (projecteuclid.org).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 661–685, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.