Die Adjunktion eines Einselementes wird in der Mathematik angewendet, wenn man einen Ring ohne Einselement in einen Ring mit Einselement einbetten will, zum Beispiel um einen Satz anwenden zu können, der nur für Ringe mit Einselement gilt.
Sei
ein beliebiger Ring. Dann definiere man auf dem kartesischen Produkt
die Operationen
![{\displaystyle (a,\lambda )+(b,\mu )\,=\,(a+b,\lambda +\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70b648d0bed96b710f524c2cc4d4390d9ccce52)
,
wobei
. Man beachte, dass man Produkte wie
mittels der naheliegenden
-Modul-Struktur bilden kann. Einfache Rechnungen zeigen, dass
mit diesen Operationen ein Ring mit dem Einselement
ist. Identifiziert man
mit
so kann man ein Element
als
schreiben und
als Unterring von
auffassen. Obige Definitionen schreiben sich dann in der folgenden erwarteten Form:
![{\displaystyle a+\lambda e\,+\,b+\mu e\,=\,a+b+(\lambda +\mu )e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384d9bcc002b5ff01adf18737df9021c3c7821b0)
.
Damit kann jeder Ring in einen Ring mit Einselement eingebettet werden. Wenn
bereits ein Einselement hatte, so erhält man in
ein neues Einselement, das ursprüngliche Einselement von
ist kein Einselement mehr in
und die Charakteristik von
ist 0, auch wenn
positive Charakteristik hatte.
Bei obiger Konstruktion ist
ein zweiseitiges Ideal in
und es gilt
. Da
nullteilerfrei ist, ist
sogar ein Primideal in
.
Wenn
nicht nur ein Ring, sondern sogar eine Algebra über einem Körper
ist, so kann man obige Konstruktion so anpassen, dass der entstehende Ring wieder eine
-Algebra ist. Dazu hat man lediglich
durch
zu ersetzen, das heißt man bildet dann
. Die
-Algebren-Struktur ist durch die Formel
![{\displaystyle \mu \cdot (a+\lambda e):=\mu a+\mu \lambda e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1850f4ab799612127ed40dac6dfa2d672f4af35f)
gegeben.
Wenn im Kontext von Algebren von der Adjunktion eines Einselementes die Rede ist, so ist in der Regel diese Konstruktion gemeint. Wieder ist
ein zweiseitiges Ideal in
und es gilt
. Da
ein Körper ist, ist
sogar ein maximales Ideal in
.
Ist
eine normierte Algebra oder sogar eine Banachalgebra über
, wobei
für
oder
stehe, so kann man auch
zu einer normierten
-Algebra machen, in dem man
![{\displaystyle \|a+\lambda e\|:=\|a\|+|\lambda |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ec45d8201670c5c4b52f16bfd0dda7bb2ddd0d)
setzt.
Das macht
sicher zu einem normierten Raum, und die multiplikative Dreiecksungleichung von
überträgt sich auf
, denn
=
:=
=
=
.
Ist
eine Banachalgebra, das heißt als normierter Raum vollständig, so ist auch
eine Banachalgebra.
Ist
eine
-Banachalgebra mit Involution
, so kann man die Involution durch die Formel
![{\displaystyle (a+\lambda e)^{*}:=a^{*}+{\overline {\lambda }}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478ac59ed07bda84a99422e3622c77b3a41d126c)
auf
erweitern. Ist die Involution auf
isometrisch, so gilt dasselbe auch für
.
Ist
eine C*-Algebra ohne Einselement, so liefert obige Konstruktion keine C*-Algebra
. Man kann aber eine andere Norm auf
wählen, die
ebenfalls zu einer C*-Algebra macht. Dazu setzt man
.
Dies ist gerade die Operatornorm der Linksmultiplikation
.
- Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations (Les grands classiques Gauthier-Villars). Éditions Gabay, Paris 1996, ISBN 2-87647-013-6 (unveränderter Nachdr. d. Ausg. Paris 1969)
- Louis H. Rowen: Ring Theory, Bd. 1 (Pure and applied mathematics; Bd. 127). Academic Press, Boston, Mass. 1988, ISBN 0-12-599841-4.