Semidirekte Summe

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Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.

Es seien und Lie-Algebren, sei eine Darstellung, das heißt:

  • ist linear, und für alle gilt .
  • ist für jedes eine Derivation auf .

Dann gibt es auf der direkten Summe der Vektorräume genau eine Klammer , so dass Folgendes gilt:

  • ist mit eine Lie-Algebra.
  • Die Einschränkung der Klammer auf und stimmt mit den dort gegebenen Klammern überein.
  • Für alle und gilt .

Dabei werden und als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Die Klammer auf lautet

.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus und . Wenn es bezüglich der Darstellung keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach .[1][2]

  • In obiger Konstruktion ist eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und sogar ein Ideal, das heißt .
  • Ist , so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
  • Seien eine Lie-Algebra über dem Körper und eine Derivation auf . Dann ist eine Darstellung, und man kann bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation .

Ist und , so erhält man eine kurze exakte Sequenz aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen

.

Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen

bzw. die darin vorkommende Lie-Algebra eine Erweiterung von nach (manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise) und eine solche Erweiterung heißt zerfallend, wenn es einen Lie-Algebren-Homomorphismus gibt mit . Demnach ist eine solche zerfallende Erweiterung, denn der Homomorphismus leistet das Verlangte.

Schließlich heißen zwei Erweiterungen und äquivalent, wenn es einen Isomorphismus gibt, der das Diagramm

kommutativ macht. Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren[3]:

Eine Erweiterung

von Lie-Algebren ist genau dann zerfallend, wenn sie äquivalent zur semidirekten Summe

ist.

Einzelnachweise

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  1. Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. Birkhäuser, 2002, ISBN 0817642595, Kap. I.4: Semidirect products of Lie-Algebras
  2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.1.13
  3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.4