Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.
Es seien
und
Lie-Algebren,
sei eine Darstellung, das heißt:
ist linear, und für alle
gilt
.
ist für jedes
eine Derivation auf
.
Dann gibt es auf der direkten Summe
der Vektorräume genau eine Klammer
, so dass Folgendes gilt:
ist mit
eine Lie-Algebra.
- Die Einschränkung der Klammer auf
und
stimmt mit den dort gegebenen Klammern überein.
- Für alle
und
gilt
.
Dabei werden
und
als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.
Die Klammer auf
lautet
.
Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist.
Diese wird mit
bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus
und
.
Wenn es bezüglich der Darstellung
keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach
.[1][2]
- In obiger Konstruktion ist
eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und
sogar ein Ideal, das heißt
.
- Ist
, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
- Seien
eine Lie-Algebra über dem Körper
und
eine Derivation auf
. Dann ist
eine Darstellung, und man kann
bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation
.
Ist
und
, so erhält man eine kurze exakte Sequenz aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen
.
Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen
![{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {c}}{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4057a1e737657908a1c74effcb5dc729aca17648)
bzw. die darin vorkommende Lie-Algebra
eine Erweiterung von
nach
(manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise) und eine solche Erweiterung heißt zerfallend, wenn es einen Lie-Algebren-Homomorphismus
gibt mit
. Demnach ist
eine solche zerfallende Erweiterung, denn der Homomorphismus
leistet das Verlangte.
Schließlich heißen zwei Erweiterungen
und
äquivalent, wenn es einen Isomorphismus
gibt, der das Diagramm
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &{\mathfrak {b}}&\rightarrow &{\mathfrak {c}}_{1}&\rightarrow &{\mathfrak {a}}&\rightarrow 0\\&\parallel &&\downarrow \gamma &&\parallel \\0\rightarrow &{\mathfrak {b}}&\rightarrow &{\mathfrak {c}}_{2}&\rightarrow &{\mathfrak {a}}&\rightarrow 0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520d9599bdf12a345e55090891c64b5574d3e1f9)
kommutativ macht. Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren[3]:
Eine Erweiterung
![{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {c}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a384be33cfe8d3eb8c17445968a44717c84ab94)
von Lie-Algebren ist genau dann zerfallend, wenn sie äquivalent zur semidirekten Summe
![{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f335175c31ae2b38e84318e5046e8906ab0a78b)
ist.
- ↑ Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction. Birkhäuser, 2002, ISBN 0817642595, Kap. I.4: Semidirect products of Lie-Algebras
- ↑ Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.1.13
- ↑ Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.4